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Ecuaciones trigonométricas - Contenido educativo

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Subido el 2 de febrero de 2026 por Roberto A.

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La clase de hoy, 2 de febrero, ¿vale? Y sobre el examen, recordaros, recordaros estadística bidimensional, lo que estuvimos viendo de la, dado un ángulo, ¿vale? Dado un ángulo y, bueno, datos que te doy de ese ángulo, tienes que hacer con la fórmula, pues hallar todas las restantes razones trigonométricas. 00:00:00
luego también yo te doy a lo mejor dos ángulos 00:00:23
y te puedo pedir pues eso, seno 00:00:25
de la suma de ángulos 00:00:27
o coseno de la resta de ángulos 00:00:28
de ángulos dobles, de ángulos mitad y demás 00:00:31
esa fórmula la tenéis que saber, estadística bidimensional 00:00:33
evidentemente también 00:00:35
y la parte así más importante 00:00:37
es ecuaciones trigonométricas que algunas hemos hecho 00:00:39
hay subidas en el aula 00:00:42
corregidas dos ficheros bastante importantes 00:00:43
de ecuaciones trigonométricas 00:00:45
que me gustaría que le echaras un vistazo 00:00:47
Dani, tú tenías una duda 00:00:49
de una ecuación trigonométrica 00:00:51
en concreto y si no te importa 00:00:54
pues la vamos a hacer ahora 00:00:56
¿te parece? 00:00:58
dímela 00:01:02
¿no la tienes a mano? 00:01:02
vale, pues entonces vamos a hacer esta de momento 00:01:07
entonces chavales, una cosa que me interesa 00:01:08
mientras que Dani busca su 00:01:12
quiero que sepáis 00:01:13
que no sé si yo lo he dejado claro, que creo que no 00:01:15
que tenemos que distinguir varias cosillas 00:01:17
es decir, cuando yo tengo 00:01:19
coseno de x al cuadrado 00:01:21
esto es lo mismo 00:01:23
que coseno cuadrado de x, ¿vale? Eso sí lo sabéis. Y lo que quiero que veáis es distinto de coseno de x cuadrado, ¿vale? 00:01:24
Es decir, coseno cuadrado de x normalmente se representa como aquí, ¿vale? Va arriba del coseno, igualmente pasa con el seno de x. 00:01:35
Es decir, si yo tengo seno cuadrado de x, esto es seno de x por seno de x, perdonad, es lo mismo que seno cuadrado de x. 00:01:46
Pero esto es distinto de seno de x al cuadrado. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:01:57
Entonces, ¿qué ocurre si a mí me dan esta ecuación trigonométrica de aquí? ¿Vale? 00:02:04
Entonces, esto de aquí, lo que tenemos es 2 por coseno cuadrado de x menos seno de x menos 1, igual a 0. 00:02:10
¿Y aquí qué podemos hacer? ¿Qué es lo que podemos hacer? 00:02:20
Pues no podemos, en principio, no tengo un producto de algo igualado a 0, ¿vale? 00:02:23
Cosa súper importante, cosa que me suelen encontrar también en los exámenes, chavales. 00:02:29
Si yo tengo a por b o por c, me da igual, igual a 0, esto significa que a es igual a 0, 00:02:33
que B es igual a cero o que C es igual a cero. 00:02:39
Pero chavales, si yo tengo A por B por C igual a K, 00:02:43
siendo K distinto de cero, 00:02:47
me refiero, esto es igual a uno o a dos, 00:02:50
hay gente que me hace A es igual a uno 00:02:52
o B es igual a uno o C es igual a uno. 00:02:55
Y esto es un error bastante grave. 00:02:58
Bueno, acá, ¿vale? 00:03:00
Esto es un error bastante grave. 00:03:02
Solamente se da cuando yo tengo un producto 00:03:04
de dos, de tres, de cuatro cosas iguales a cero 00:03:06
entonces cada una de las cosas de forma independiente 00:03:09
son 0, entonces yo aquí no tengo 00:03:12
nada, pero que ocurre 00:03:14
que yo esto de aquí chavales 00:03:15
que puedo hacer con esto, aplicar el que 00:03:17
perfecto 00:03:20
el teorema fundamental 00:03:22
de la trigonometría 00:03:23
el teorema fundamental 00:03:25
de la trigonometría que es lo que me dice 00:03:28
chavales, que 00:03:30
efectivamente que seno cuadrado de alfa más coseno 00:03:31
cuadrado de alfa es igual a 1, de donde 00:03:37
en este caso coseno cuadrado 00:03:38
de alfa es 1 menos seno cuadrado 00:03:41
de alfa. Pues eso es lo que voy a hacer 00:03:43
y lo voy a sustituir. ¿Vale? 00:03:45
Entonces, yo aquí que tengo 2 00:03:47
que multiplica a 1 menos 00:03:49
seno cuadrado de alfa. Dani, yo creo 00:03:51
que la tuya es muy parecida 00:03:53
a esta, ¿eh? Si no es la misma. 00:03:55
Pero es prima hermana. Es prima hermana. 00:03:57
¿Vale? Entonces, 00:04:00
lo único que he hecho es sustituir coseno 00:04:01
cuadrado de alfa por 1 menos 00:04:03
el seno cuadrado de alfa. Si yo 00:04:05
distribuyo ahora este 2, ¿verdad? 00:04:07
¿Qué me queda? 2 menos 2 seno cuadrado de alfa menos seno de alfa menos 1 igual a 0. 00:04:09
¿Lo veis? 00:04:17
Ay, Torrico, perdona, hija. Así mejor. 00:04:19
Tú interrúmpeme y me lo dices, ¿vale, madre? 00:04:23
Entonces, chavales, ¿qué es lo que tengo? 00:04:26
Menos 2 seno cuadrado de alfa menos seno de alfa más 1 igual a 0, ¿verdad? 00:04:29
yo a mí normalmente 00:04:36
con Elías 00:04:38
y yo es que tiene mucha cabeza 00:04:41
Elías es que es muy largo 00:04:42
¿vale? 00:04:44
lo que he hecho es 00:04:46
de sustituir y este 2 00:04:47
menos 1 es 1 00:04:51
¿vale? y ahora a mí lo que me gusta 00:04:52
es poner el primer término 00:04:55
en positivo 00:04:58
entonces multiplico todo por menos 1 00:04:59
y tengo esto de aquí 00:05:01
¿vale chavales? 00:05:07
¿sí? 00:05:09
Tengo esto de aquí. 00:05:10
¿No, Candela? 00:05:11
¿Estás perdido? 00:05:12
¿Estás bien? 00:05:14
¿Eres feliz? 00:05:15
Es tu santo. 00:05:16
Felicidades, Candela. 00:05:17
Sí, se me ha ido la olla. 00:05:20
Perdona. 00:05:21
Y entonces, efectivamente, ¿qué es? 00:05:21
Una ecuación de segundo grado, ¿vale? 00:05:25
Donde mi cónmita es seno de x. 00:05:28
¿Lo veis? 00:05:33
Entonces, hay algunos libros que lo que hacen, 00:05:34
que es lo que me comentaba Dani, 00:05:37
Es un cambio de variable, si queréis, cambio de variable, no, que dice que seno de x es igual a t, ¿vale? 00:05:38
Entonces aquí yo que tengo 2t cuadrado más t menos 1 igual a 0. 00:05:48
Entonces aquí si queréis hacer cambio de variable, bien, y si no, lo único que aquí que aplicamos que seno de alfa, ¿no? 00:05:54
Esto aquí es igual a menos b, que es menos 1, más menos b al cuadrado, que es 1, menos 4 por a y por c. 00:06:02
Esto es más 8, ¿verdad? Partido de 2, por 2, que es 2a. 00:06:13
¿Lo veis todo el mundo? 00:06:19
¿Sí o no? 00:06:23
entonces esto es menos uno más menos tres cuartos 00:06:23
de donde tengo aquí menos cuatro cuartos 00:06:27
que es igual a menos uno 00:06:31
y esto me sale menos dos cuartos 00:06:32
que es menos un medio 00:06:36
¿estáis de acuerdo conmigo o no? 00:06:38
¿sí o no, chavales? 00:06:41
¿sí? 00:06:43
¿me he equivocado? 00:06:44
es un más 00:06:47
es un más 00:06:48
¿sí? 00:06:49
¿ahora sí, Pablo? 00:06:51
¿no? 00:06:52
¿Cómo que no? 00:06:53
Yo creo que está bien, ¿no? 00:06:58
Entonces, chavales, esto es seno de alfa, ¿de acuerdo? 00:07:02
Seno de alfa es igual a menos 1 y seno de alfa es igual a 1 medio, ¿vale? 00:07:06
Eso es posible, lo digo, porque a veces me puede salir aquí, chavales, 00:07:11
que para la ecuación de segundo grado a lo mejor me sale aquí un menos 2, menos 3, menos 1,5, ¿vale? 00:07:16
Entonces, cuando me salga eso, lo único, ese valor lo descarto, ¿vale? ¿Por qué? Porque el seno, ¿entre qué dos valores está siempre? Efectivamente, igual que el coseno, la tangente no, ¿eh? La tangente no. 00:07:22
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? Pues que me valen, ¿vale? ¿Sí o no? ¿He terminado? Pues todavía no. ¿Tenéis apuntado esto? ¿Tenéis apuntado esto? Pues venga. 00:07:35
Entonces, ¿yo qué tengo? 00:07:46
Por un lado, primera parte, que seno de alfa es igual a menos 1, ¿verdad? 00:07:48
Entonces, chavales, ¿qué ángulos tienen como seno el seno? 00:07:53
¿Dónde iba? 00:07:57
Sorcartoa. 00:07:59
Sorcartoa. 00:08:01
El seno con la ordenada. 00:08:02
La ordenada es la i. 00:08:04
Este es, ¿lo veis? 00:08:06
Este es el menos 1, ¿verdad? 00:08:08
¿Cuál es el único ángulo que tiene dentro de los 360 grados que tiene seno menos 1? 00:08:11
270 C es 270 grados más 360 grados por K, donde K pertenece a los números enteros. 00:08:20
Y si lo ponemos en radianes, 270 grados ¿cuánto es, chavales? 00:08:31
Tres pi medios, ¿vale? Tres pi medios más dos kpi. 00:08:42
¿Dónde k pertenece? 00:08:49
Esto por un lado, esto es lo de seno igual a menos uno. 00:08:52
¿Sí o no? 00:08:56
Y ahora, chavales, lo segundo que es seno de alfa es igual a un medio, ¿verdad? 00:08:57
No me he equivocado, ¿no? 00:09:04
Seno de alfa era un medio. 00:09:05
Entonces, yo me hago aquí mi dibujito y aquí el 1 medio está aquí, ¿verdad? 00:09:07
Entonces serían los ángulos este y este, ¿lo veis? 00:09:15
¿Sí o no? 00:09:21
Entonces, ¿cuál era el que tiene seno 1 medio, chavales? 00:09:22
¡Guau! 00:09:30
¡Never! 00:09:32
Seno de 45 raíz de 2 partido de 2. 00:09:33
Es 30, ¿vale? 00:09:36
30 tiene, ¿sí? 00:09:39
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:09:42
Que si esto es alfa, ¿vale? 00:09:44
Alfa es igual a 30 grados. 00:09:46
¿Cuánto va a valer todo esto de aquí en Colorado? 00:09:49
¿Cuánto vale todo eso? 00:09:55
180, efectivamente. 00:09:59
El otro alfa prima es 180 menos 30 grados, 00:10:01
que es igual a 150 grados. 00:10:06
¿Lo veis, chavales? 00:10:09
Es decir, si yo tengo aquí alfa, aquí esto en pequeñito, 00:10:10
también es alfa, ¿vale? 00:10:14
¿Lo veis todo el mundo eso de ahí o no? 00:10:16
Entonces, chavales, ¿cuál sería la otra solución? 00:10:19
Pues alfa es igual a 30 grados más 360 por k, 00:10:21
donde k pertenece a los números enteros, 00:10:29
Y alfa es igual a 150 grados más 360 grados por K. 00:10:32
K pertenece a los números enteros. 00:10:39
Si lo ponemos en bonito como ustedes, ¿cuánto es 30? 00:10:43
Si pi medio es 90, pi sexto. 00:10:47
¿Vale? Como Pablo. 00:10:51
Pablo sexto. 00:10:53
Y 150, 5 pi sexto. 00:10:58
Dime, hijo. 00:11:03
¿Dónde está el 2K pin? 00:11:04
2K pin 00:11:07
2K pin es cada vuelta que yo doy 00:11:08
¿Cuánto en grados cuánto es la vuelta? 00:11:12
¿En grados cuánto es la vuelta entera? 00:11:16
360 y en radianes 00:11:18
¿Cuánto es una vuelta entera? 00:11:20
2 pin 00:11:23
Esto es pin 00:11:23
Y esto es 2 pin 00:11:25
¿Cuál es la longitud de una circunferencia, chavales? 00:11:27
¿Eh? 00:11:30
¿Cuál es la longitud de una circunferencia? 00:11:30
¡Guau! Me encanta, pero 00:11:38
sin el diámetro, ¿cómo sería? 00:11:39
2 pi 00:11:42
2 pi r. Siempre 00:11:43
tengo el 2 pi y 00:11:45
evidentemente, mientras mayor es el radio, 00:11:47
mayor es la circunferencia. 00:11:49
Eso es 00:11:52
5 pi sexto. 00:11:53
¿Eh? 00:11:56
Hombre, si me lo das en 00:11:58
grado, yo te lo tomo bien, pero 00:11:59
lo bonito como ustedes, los radianos. 00:12:01
¿Eh? 00:12:03
¿Vale? 00:12:06
Sí, chavales, ¿habéis 00:12:08
visto cómo hemos metido mano a esta 00:12:09
ecuación trigonométrica? 00:12:12
Lo repasamos. Yo veo 00:12:15
esto de aquí, ¿de acuerdo? 00:12:17
Venga, chavales, por favor, silencio. 00:12:19
Yo veo esto de aquí. 00:12:22
¿Qué ocurre? Que tengo 00:12:24
cosenos al cuadrado y senos. 00:12:25
No puedo sacar factor 00:12:27
común ni nada, ¿verdad? No puedo sacar factor 00:12:29
común ni nada. 00:12:31
Pero lo que hago es sustituir 00:12:33
el coseno al cuadrado 00:12:35
de x por el teorema fundamental 00:12:37
de la trigonometría como 1 menos seno 00:12:39
cuadrado de alfa. Y entonces ya, chavales, 00:12:41
¿qué es lo que me queda? Me queda ya 00:12:43
todo con senos. 00:12:45
Y además uno es un seno cuadrado y el otro 00:12:47
es un seno, con lo cual 00:12:49
puedo hacer o bien este cambio 00:12:51
de variable o si no directamente 00:12:53
veo que uno tengo seno cuadrado, 00:12:54
el otro seno y en otro un valor. 00:12:57
Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, porque al final tú le vas dando huerta. 00:12:59
A veces, bueno, no siempre, perdóname, perdóname. 00:13:08
Si yo veo, sí, claro, si por ejemplo resulta que se cumple cada 90 grados, entonces 90 grados por K. 00:13:15
Si veo si se cumple por 180, a ver, ¿qué es lo que ocurre? 00:13:25
Aquí, estos valores que me dan no los puedo agrupar en más pequeños. Es decir, yo 30 y 180 no le busco una relación fácil como tal. Realmente sí la hay. Es 90 más menos. Esto sí quiero hacerlo en uno, pero es complicarse, me refiero. 00:13:28
Si te das cuenta, si yo hago aquí estos dos de aquí, yo lo podría agrupar en 90 grados más menos 60 grados, ¿vale? 00:13:51
Más 360 grados por K. 00:14:04
Y agrupo estos dos. 00:14:08
¿Me merece la pena? 00:14:10
Yo creo que no. 00:14:12
¿Vale? 00:14:13
Entonces, si yo lo multiplico siempre por 360 grados, pues no fallo nunca. 00:14:14
Entonces, cuando se puede agrupar, pues sí. Es decir, si estos dos, en vez de ser 30 y 150, fuese 30 y 210, ¿qué ocurre? Que de 30 a 210 hay 180, ¿verdad? Pues entonces ahí, en vez de poner 30 más 360 y 210 más 360, se pone 30 más 180K. ¿Por qué? Pues por cada 180 se pone. 00:14:20
Esto de aquí estaría ya, vamos, esto es maravilloso, ¿vale? Esto ya es maravilloso, pero estáis con el examen, estáis con las bullas, ¿vale? Entonces me lo ponéis así y en principio sería correcto. 00:14:47
esto ya sería de 00:15:02
vallácula, ¿vale? 00:15:05
¿Tienes ahí tu 00:15:09
tu de esto? 00:15:10
Sí, por fin. Esto es la 00:15:14
de Erdani. Lo único lo voy 00:15:16
a plantear, no lo voy a resolver, os la dejo a ustedes 00:15:18
¿vale? Dime 00:15:20
¿Coseno? 00:15:24
Chavales, no me entero, ¿eh? 00:15:29
¿Coseno? ¿Coseno de 2 00:15:30
alfa? 00:15:32
más 3 seno de alfa 00:15:34
igual a 2. 00:15:37
¿Vale? 00:15:40
Entonces, chavales, iguales. 00:15:40
Tengo aquí coseno y seno. 00:15:42
Tengo coseno y seno. 00:15:44
Entonces, ¿aquí qué es lo que veo? 00:15:46
El coseno del ángulo doble. 00:15:48
¿Os sabéis la forma del coseno del ángulo doble? 00:15:49
Hay gente que sí y gente que no. 00:15:54
Coseno cuadrado de alfa 00:15:56
menos seno cuadrado de alfa, ¿vale? 00:15:58
Más 3 seno de alfa 00:16:01
es igual a 2. Y aquí fijaros, ya tengo aquí un coseno cuadrado de alfa, un seno cuadrado de alfa 00:16:04
y un seno. A mí lo que hace que sustituya este o este por el teorema fundamental de la trigonometría 00:16:11
es este que está solo. ¿Lo veis? Entonces, ¿qué voy a hacer? Voy a sustituir coseno cuadrado de alfa 00:16:19
por 1 menos seno cuadrado de alfa. 00:16:26
¿Lo veis? 00:16:30
¿Cerrano? 00:16:33
¿Sí? 00:16:34
¿Eres feliz? 00:16:35
Y entonces, chavales, esto si lo agrupo, 00:16:40
esto que es menos 2 seno cuadrado de alfa 00:16:44
más 3 seno de alfa, 00:16:48
este 2 me lo paso al otro lado, 00:16:52
menos 1 igual a 0. 00:16:54
¿Vale, chavales? 00:16:56
¿Sí? 00:16:58
veis lo que he hecho 00:16:58
Marta que me pones cara de miedo 00:17:03
este 00:17:05
menos seno menos seno 00:17:11
menos dos senos 00:17:15
menos dos senos cuadrados de alfa 00:17:17
¿vale? 00:17:20
¿si? 00:17:24
si pero como está este uno 00:17:28
1 menos 2 es menos 1, ¿vale? 00:17:29
¿Sí? 00:17:33
Entonces, esto, chavales, es seno al cuadrado de alfa menos 3 seno de alfa más 1. 00:17:34
¿Te sale esto, Dani? 00:17:40
¿Dani? 00:17:43
Es falso. 00:17:45
Y Dani lo que hace es el cambio de variable. 00:17:47
Entonces, tiene t al cuadrado menos 3t más 1, ¿verdad? 00:17:49
Dime, hija. 00:17:55
Ah, es 2. 00:17:58
Gracias, y yo estoy con el 2 cachondo 00:17:58
No, pero hay que cambiar el signo a 2 00:18:01
¿Vale? 00:18:03
Pero esto es personal 00:18:05
Dani, ¿y esto qué te sale? 00:18:07
¿Qué valores te sale de solución? 00:18:08
T es igual a 1 medio 00:18:12
¿No? Y T es igual a 1 00:18:13
¿No? Entonces, ¿eso qué implica? 00:18:15
Lo voy a poner aquí 00:18:19
En vez de esperanza 00:18:19
Seno de alfa es igual 00:18:20
A 1 medio, ¿vale chavales? 00:18:23
Entonces, ¿qué ángulo 00:18:26
tiene como seno un medio? 00:18:27
30, ¿no? 00:18:31
Y lo que hemos dicho antes. Entonces 00:18:33
30 y 150, ¿verdad? 00:18:34
Entonces igual, pues 30 00:18:37
más 360 00:18:39
150 00:18:42
más 360 00:18:44
grados K, ¿vale? 00:18:46
K pertenece a los números 00:18:48
reales. Y después, 00:18:50
¿qué valor tiene, qué seno 00:18:52
tiene uno? 00:18:55
¿Qué ángulo tiene el cero uno? 00:19:01
¿Cero uno? 00:19:17
¿Noventa? 00:19:19
¿Noventa grados más trescientos sesenta grados K? 00:19:21
¿Sí o no? 00:19:27
El cero uno. 00:19:29
Hago aquí mi pedazo de circunferencia goniométrica. 00:19:30
El seno, que va con la torta ordenada. 00:19:34
Uno. 00:19:38
¿Cuál es este ángulo, chavales? 00:19:40
90 grados. 00:19:43
Y medio. 00:19:45
¿Circin o norcin? 00:19:48
¿Cómo veis esto? 00:19:50
¿Fácil, difícil? 00:19:51
¿Difícil? 00:19:54
¿En serio? 00:19:55
¿En serio? 00:19:57
Si siempre es igual. 00:19:58
Pero escúchame, ¿qué te es difícil? 00:20:01
¿Llegar aquí o luego? 00:20:03
¡Venga, vamos, vamos! 00:20:07
¡Venga, sigo para adelante! 00:20:14
¿Me permitís que siga para adelante, chavales, y vemos más? 00:20:15
¡Venga! 00:20:19
Ah, bueno, esta natilla... 00:20:20
¡Venga, chavales, esta de aquí! 00:20:23
¿Qué es lo que veo? 00:20:26
Un seno doble y un seno normal. 00:20:28
Entonces, ¿qué creéis que voy a aplicar aquí, chavales? 00:20:31
¿Hello? 00:20:35
Muy bien, Emilio, ¿te la sabes? 00:20:37
No seas falso, Emilio, que sí te la sabes. 00:20:42
El seno de 2X. 00:20:44
¿Qué es el seno de doble? 00:20:47
Seno doble, seno doble. 00:20:49
¿No sabéis la fórmula todavía? 00:20:52
Venga, Celia. 00:20:53
2 seno de X, coseno de X, ¿vale? 00:20:58
Menos seno de X. 00:21:03
Chavales, esto si no lo sabéis, claro que es difícil. 00:21:05
claro, me refiero 00:21:08
si no me sé la fórmula, pues malagueña 00:21:11
quiero los mismos resultados 00:21:13
que con Maripaz 00:21:17
quiero los mismos resultados 00:21:18
que con Maripaz, que está súper orgullosa 00:21:23
de ustedes, yo también 00:21:25
a ver si es verdad, y chavales, ¿aquí qué hago? 00:21:26
¿qué veis aquí? 00:21:31
¿qué veis aquí? 00:21:33
factor común, y yo Jeremy, very good 00:21:35
factor común 00:21:37
Muy bien, copetín. 00:21:39
Entonces, ¿cuál es el único factor común en los dos? 00:21:42
El seno. 00:21:46
Pues cojo aquí el seno de X. 00:21:46
¿Vale? 00:21:49
Y entonces, ¿aquí qué me queda? 00:21:50
Si quito el seno de X, dos coseno de X, ¿verdad? 00:21:51
Cero. 00:21:55
Y si yo quito aquí el seno de X, ¿qué me queda, Daniela Serrano? 00:21:56
Muy bien, very good. 00:22:00
You are a good person. 00:22:02
¿Vale? 00:22:04
Entonces, chavales, ¿qué es lo que he hecho? 00:22:05
hago el ángulo doble, ¿vale? 00:22:09
Seno de 2x es 2 seno de x coseno de x. 00:22:12
Veo que tengo 2 sumando, 00:22:15
y 2 sumando donde aparece el seno de x. 00:22:17
Saco factor común y tengo esto de aquí. 00:22:20
Volvemos a lo principio que yo dije, chavales. 00:22:23
Yo aquí que tengo una cosa multiplicada por otra cosita. 00:22:26
Si tengo a por b igual a 0, 00:22:31
eso es lo que significa que a es igual a 0 00:22:33
y que b es igual a 0. 00:22:35
Eso solo pasa con el serapio, ¿vale? 00:22:37
Entonces, ¿qué ocurre? 00:22:40
Pues ya lo tengo. 00:22:42
Seno de x igual a 0. 00:22:43
Y de aquí, ¿qué tengo? 00:22:45
2 coseno de x menos 1 es igual a 0. 00:22:47
2 coseno de x es igual a 1. 00:22:52
Coseno de x es igual a 1 medio. 00:22:55
Fijaros. 00:22:58
Súper complicado, copetines. 00:22:59
Súper complicado. 00:23:02
Está una pollada, ¿no? 00:23:04
Emilio, ¿me vas a ver ya la formulita? 00:23:10
Esta de aquí. 00:23:13
Tatúatela. 00:23:15
¿Vale? 00:23:16
Coseno de dos alfas. 00:23:17
¿Quién me dice coseno de dos alfas? 00:23:18
¿Sabes lo que se diga en la playa la gente tatuar con el seno y el coseno doble? 00:23:23
¿En papito o taburro? 00:23:32
Una mejita. 00:23:35
Venga, seno de X, chavales, es igual a cero. 00:23:37
Mi dibujito. 00:23:42
El seno, Sor Cartoa, la ordenada. 00:23:44
¿Cuáles tienen seno cero? 00:23:48
Esto es, la ordenada cero es aquí y aquí. 00:23:51
Luna, este me viene fenomenal, ¿vale? 00:23:56
¿Cuáles son, Luna? 00:23:58
Cero, 180, ¿no? 00:24:00
Y después de 60 y tal, como justamente cada 180 se repite, aquí este alfa, ¿qué es? Es 0 más 180 grados de K. ¿Vale? ¿Qué es esto que es? Alfa es igual a 2Kpi. Ah, no, es pica. La pica. Pica, pica. 00:24:02
¿Vale? La pica es un coche 00:24:25
Una furgona para el campo 00:24:31
¿Sí o no? 00:24:33
¿Vale? 00:24:36
Pica 00:24:37
Y ahora el otro, chavales 00:24:37
¿Qué me dice? 00:24:41
Que coseno de alfa es igual a un medio 00:24:42
¿Vale? El coseno 00:24:45
El coseno 00:24:48
Que me lo quitan de las manos 00:24:50
Este y este, ¿verdad? 00:24:51
Un medio 00:24:57
¿Qué ángulo es? 00:24:58
60, muy bien, alfa es igual a 60 grados más 180 grados por K 00:25:00
y luego el otro, claro, si esto es alfa, esto es alfa, 00:25:07
¿esto qué sería? 180 menos 60. 00:25:12
¿Qué es 180 menos 60? ¿Cuánto es? 00:25:15
120 grados, ¿vale? 00:25:18
Ay, perdón, perdón, perdón. 00:25:24
Perdón, uuuh, uuuh, este no tiene ni idea. 00:25:27
Uh, perdonad, que me he ido al seno. 00:25:30
Vale, ¿qué es el coseno positivo? Es este y este, ¿vale? 00:25:38
Gracias, padre. 00:25:44
Esto es menos 60 grados, que es 300 grados, más el... 00:25:46
Ya no he dado ni una, ¿eh? 00:25:56
360 grados por K, ¿vale? 00:26:00
Donde K pertenece. 00:26:06
Arfa es igual a pi tercio, ¿verdad? 00:26:10
Más 2Kpi. 00:26:15
300 es 5pi tercio. 00:26:19
Más 2Kpi. 00:26:23
¿Vale? 00:26:25
Donde K pertenece a los enteros. 00:26:26
¿Vale, chavales? 00:26:30
¿Lo veis? 00:26:31
pero me refiero 00:26:32
¿veis donde lo saco o no? 00:26:37
he sustituido primero seno de 2x 00:26:40
por el ángulo doble 00:26:44
2 seno de x coseno de x 00:26:46
saco factor común seno de x porque aparecen los dos 00:26:49
¿vale? y entonces lo que hago al tener 00:26:53
dos productos iguales a 0 00:26:55
por cada uno de los factores lo igualo a 0 00:26:57
Tú si quieres natura 00:27:01
A los enteros 00:27:05
A los enteros, la Z 00:27:06
¿Puedo pasar a la siguiente, chavales? 00:27:09
Venga, vamos, Jorge 00:27:14
¿Lo veis, chavales, o no? 00:27:15
¿Lo veis complicado? 00:27:21
Chavales, hay 00:27:23
Dos ficheros subidos en el aula 00:27:24
Que no sé si lo habéis visto 00:27:27
Con ecuaciones trigonométricas 00:27:28
Resueltas enteras, ¿eh? 00:27:31
Echarle un vistazo, por favor. 00:27:33
Es que el aula virtual no lo bicheáis. 00:27:36
¿Vale? 00:27:43
Y sobre todo las fórmulas. 00:27:45
¿Vale? 00:27:47
Venga, una cosilla, un regalito que os voy a dar. 00:27:47
Saberos. 00:27:51
Seno del ángulo doble. 00:27:53
Coseno del ángulo doble. 00:27:56
Ángulo mitad. 00:28:01
Seno del ángulo mitad. 00:28:03
bueno, y las correspondientes, ¿vale? 00:28:04
seno del ángulo mitad, coseno 00:28:06
del ángulo mitad, y después 00:28:08
las fórmulas estas que yo os dije, yo 00:28:10
esa ni me la sé, que era la de 00:28:12
suma de seno y 00:28:14
resta de seno 00:28:16
¿vale? regalito 00:28:18
la de 00:28:24
seno de A más seno de B 00:28:26
que era 2 seno de A más B medios 00:28:28
por coseno de A menos B medios 00:28:30
y demás 00:28:32
Ángulo doble y ángulo mitad 00:28:32
¿Vale? 00:28:47
Chavales, teorema fundamental 00:28:48
De la trigonometría 00:28:51
¿Qué chavales? El teorema fundamental 00:28:52
De la trigonometría, ¿cuántas ecuaciones 00:28:54
Iguales tiene? 00:28:57
¿Eh? 00:28:59
Tres, ¿vale? 00:29:00
¿No va a entrar nada en el teorema del consejo? 00:29:02
Sí, hombre. 00:29:04
Sí, hombre, teorema del consejo. 00:29:05
Teorema del consejo. 00:29:06
Digo, de la forma. 00:29:07
¿No la he cargado? 00:29:09
Venga. 00:29:12
Venga, chavales. 00:29:17
Esta es muy parecida, ¿verdad? 00:29:18
Venga, dos que multiplica a dos senos de A, E, T. 00:29:21
Por favor, chavales. 00:29:27
Aquí, chavales, fijaros. 00:29:38
Lo único de diferente es que me he colado aquí, ¿no? 00:29:43
Para poder sacar factor común. 00:29:54
Voy a hacerlo despacito, ¿vale? 00:29:55
Venga. 00:29:57
2 seno... 00:30:02
Ay, perdona. 00:30:04
Este 2, ¿no? 00:30:04
Que multiplica esto de aquí. 00:30:05
Es 2 seno de x. 00:30:08
coseno de x verdad menos seno de igual a cero otra vez sacó factor como aquí 00:30:10
seno de x y que tengo aquí chavales 4 coseno de x 00:30:18
menos 1 igual a 0 esto es igual que antes vale entonces chavales seno de x 00:30:24
es igual a 0, de donde x es igual a kpi, y aquí tengo 4 coseno de x menos 1 es igual a 0, 4 coseno de x es igual a 1, coseno de x es igual a un cuarto, ¿vale? 00:30:32
Y que X tienen un cuarto de tal. 00:30:55
Tenemos dos. 00:31:03
Si yo hago arco coseno de un cuarto, ¿qué me sale? 00:31:07
¿Sorry? 00:31:12
¿Arco coseno de un cuarto? 00:31:16
Pues sí, puede ser. 00:31:18
75, sí. 00:31:21
¿75 con qué? 00:31:24
Vale, 75,2. Ah, chavales, Leia, grande eres, me encanta Leia, ¿vale? Esto, mira, se me había olvidado, ¿vale? Y aquí, chavales, sería, si me hacéis 360 menos 75,2, ¿qué es? 284,8, ¿puede ser? 00:31:25
¿sí? 00:31:52
¿y yo qué pasa, vamos? 00:31:57
pero si es un 2 00:32:04
¿75,2 o no? 00:32:05
ah, 75,5 00:32:10
vale, es que 00:32:13
ya había entendido un 2, entonces esto es un 5 00:32:17
también, ¿vale? 00:32:19
redondeando 00:32:22
bueno 00:32:23
Vale, quito el periodo. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? ¿Cómo ha hallado este? ¿Vale, cómo ha hallado este de aquí? Pues x es igual al arco coseno de un cuarto, ¿vale? Esto con la calculadora es x es igual a coseno menos uno de un cuarto. 00:32:26
¿Vale? 00:32:51
¿Ya no? 00:32:54
Pensando, esto es 360 grados menos 75,5 00:32:56
¿Pero por qué? 00:33:02
Porque, chavales, yo tengo esto de aquí 00:33:04
¿Vale? 00:33:06
Si esto es un 1, aquí está el 1 cuarto 00:33:12
Pues entonces resulta que tengo por un lado 00:33:16
Este de aquí y tengo este de aquí 00:33:20
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? ¿Vale? ¿Sí o no? Venga, dime. Una cosa, un inciso importante, importante, ¿vale? Si yo tengo, chavales, 42 grados, 14 minutos, creo que era este, ¿no, Leia? ¿Vale? 00:33:25
escuchadme una cosa 00:33:49
esto no es lo mismo 00:33:51
que 42,14 00:33:53
grados 00:33:56
eso no es lo mismo 00:33:57
en la calculadora 00:34:00
tenéis chavales, creo que es una tecla 00:34:01
que aparece aquí 00:34:04
esto de así, ¿lo veis? 00:34:05
¿sí o no? 00:34:09
¿vale? 00:34:10
es un 00:34:10
un dorado y una coma 00:34:11
sí, aquí una coma y dos comas, ¿vale? 00:34:13
entonces, chavales 00:34:16
Si yo pongo la calculadora 00:34:17
Le doy a esta tecla 00:34:21
¿Vale? 00:34:23
Pongo el 14 00:34:25
Y le vuelvo a dar a esta tecla 00:34:27
Ya me sale aquí 00:34:29
Creo que era 42,23 00:34:32
O algo de eso, ¿no? 00:34:34
42,23 00:34:36
¿No? 00:34:38
¿Vale, chavales? 00:34:41
Lo digo para que no os equivoquéis 00:34:42
¿Vale? 00:34:45
Otra opción también 00:34:47
¿cuál sería, chavales? ¿Cómo paso los minutos a los grados? ¿Cómo paso los minutos a los grados? 00:34:48
¿Cuántos minutos hay en un grado? ¿Cuántos minutos hay en un grado? ¿Cuántos minutos hay en un grado? 00:34:56
60, ¿vale? 00:35:09
Entonces, esto de aquí es 00:35:11
42 más 14 00:35:13
entre 60, ¿vale? 00:35:15
Me da 42,23. 00:35:17
Vale. 00:35:20
¿Lo veis? 00:35:22
¿Sí o no? 00:35:23
¿Vale, chavales? ¿Cómo que no? 00:35:26
¿Dime? 00:35:30
Es que había un problema 00:35:31
y una compañera le puteó 00:35:33
esto de aquí, ¿vale? 00:35:35
¿Vale, chavales? 00:35:38
Venga, sigo. La tecla es esta, aquí ya. Si está mejor dibujado esto. ¿Vale? Jorge, ¿bien? ¿Sí? 00:35:39
Pues, bueno, si así sale, luego lo operas. Claro, eso está bien también. Lo que pasa es que luego lo operas y te sale lo mismo, ¿vale? 00:35:56
Venga, chavales, sigo 00:36:07
Esto de aquí 00:36:10
¿Cómo le meto mano a esto? 00:36:12
¿Cómo vamos de tiempo? 00:36:15
Venga 00:36:16
Chavales 00:36:16
Esto de aquí, ¿qué es? 00:36:20
A ver, voy a hacer 00:36:24
Efectivamente 00:36:25
2 por coseno cuadrado de x medio 00:36:27
También lo podemos encontrar así 00:36:31
Más coseno de x menos 2 igual a 0 00:36:33
Entonces, ¿cuánto vale? ¿Alguien no se sabe cuánto vale el coseno de un ángulo mitad? 00:36:37
¿Italia, tú te lo sabes? 00:36:45
No, sí o no, es muy fácil. 00:36:50
Venga, vale. 00:36:53
¿Alguien que no se lo sepa? 00:36:54
¿Tampoco te lo sabe? 00:36:58
Bueno, pues una cosilla. 00:37:00
Aquí es una raíz. 00:37:01
raíz, aquí como es un coseno, es uno más coseno de x y todo ello partido de dos, ¿no? 00:37:02
Y luego el seno es lo mismo pero aquí con un menos, ¿vale? Lo que ocurre, chavales, 00:37:11
que yo fijaros aquí, tengo coseno cuadrado de x medio. ¿Y eso qué significa? Que efectivamente, 00:37:19
No sé quién lo ha dicho, pero lo ha dicho perfecto, ¿vale? 00:37:28
Por lo tanto, esto que me queda, 1 más coseno de x partido de 2. 00:37:33
¿Vale, chavales? 00:37:39
¿Qué es lo que a mí me interesa? 00:37:40
Dime. 00:37:43
Aquí me queda el más menos, ¿no? 00:37:46
Pero claro, aquí, vale, perfecto. 00:37:47
Mira, una cosilla muy bien, muy buen apunte. 00:37:49
Chavales, esto es más menos, ¿vale? 00:37:53
Esto dependiendo del cuadrante, tengo que coger un más o un menos. 00:37:56
Pero al elevarle al cuadrado, más por más, más por más, menos por menos, más. 00:38:00
Entonces, aquí ya paso de los signos, ¿vale? 00:38:07
Elías, que queremos. 00:38:11
Entonces, ¿esto qué es? 00:38:14
Sustituyo 2 por 1 más coseno de x partido de 2. 00:38:15
¿Qué voy a hacer con los dos, chavales? 00:38:20
Se va. 00:38:24
¿Y esto qué me queda? 00:38:26
1 más coseno de x, es decir, esto le damos recuerdo a la mujer, ¿vale? 00:38:27
Más coseno de x menos 2 igual a 0, ¿sí o no? 00:38:35
¿Coseno de x más coseno de x? 00:38:41
¿Hello? 00:38:46
2 coseno de x, muy bien. 00:38:47
1 menos 2, menos 1 igual a 0. 00:38:50
2 coseno de x es igual a 1 00:38:54
coseno de x es igual a 1 medio 00:38:58
Jesús 00:39:01
¿Vale? 00:39:03
Y entonces, ¿dónde tenemos los cosenos positivos, chavales? 00:39:06
Primer cuadrante y cuarto cuadrante 00:39:11
Entonces, 1 de cuarto cuadrante siempre es 360 menos 1 ángulo agudo del primer cuadrante 00:39:14
¿Lo veis? 00:39:20
¿Sí? 00:39:21
Entonces, en este caso, X es igual, ¿qué coseno tenía un medio? 60, ¿verdad? 300. No me mezcléis churras con merinas, ¿eh? Si es grado, 360 grados, ¿eh? 360. 00:39:22
60. ¿No sabéis lo que 00:39:51
es churras 00:39:55
y merinas? Nada más que 00:39:57
sabéis la otra afección de churras. 00:39:59
¿No sabéis lo que es de churras y merinas? 00:40:01
Son tipo ovejas. 00:40:03
Son tipo 00:40:08
de ovejas. Además, la lana merina 00:40:09
es muy buena. 00:40:11
Es que nada más que os vais por donde 00:40:13
no tenéis que ir. 00:40:14
¿Vale? Esto es 00:40:17
tercio más dos capi. Ahora sí. 00:40:18
Esto es equivalente a 300 grados más 360 grados K. 00:40:21
Esto es 5 pi tercios más 2 K pi. 00:40:28
¿Dónde, hijo? 00:40:40
Porque es equivalente, ¿vale? 00:40:43
Chavales, ¿cómo vais? 00:40:47
Jorge, ¿bien? 00:40:48
Luna. 00:40:49
¿Quién más faltaba ahí, Guillo? 00:40:51
¿Ha faltado Paula? ¿Quién más? 00:40:53
¿Y? 00:40:56
¿Nadie más? 00:40:57
¿Puedo continuar, chavales? 00:40:59
¿Sí? 00:41:03
Venga, esta de aquí. 00:41:04
Os dejo que le metáis mano a ustedes. 00:41:06
Venga, vamos. 00:41:09
Venga. 00:41:12
Venga. 00:41:12
Bueno, voy a parar la grabación, pero luego recordadme que siga grabando. 00:41:18
Venga, retomamos. 00:41:25
Entonces, este ejercicio de aquí se puede hacer de dos formas, ¿vale? 00:41:27
O aplico el teorema fundamental de la trigonometría aquí o lo aplico aquí, ¿no? 00:41:31
Entonces, esto que sería 1 menos coseno cuadrado de x menos 1 igual a 2 coseno cuadrado de x. 00:41:37
O otra forma que sería seno cuadrado de x menos 1 es 2 que multiplica 1 menos seno cuadrado de x. 00:41:47
Entonces, chavales, si agrupo que tengo esto y esto, hasta luego, ¿no? 00:41:59
Y este pasa aquí que sería 3 coseno cuadrado de x igual a 0. 00:42:05
¿De dónde? Coseno cuadrado de x es igual a 0, ¿no? 00:42:10
Y entonces, coseno de x es igual a cero. 00:42:15
¿Y x a qué es igual, chavales? 00:42:20
¿Cuánto vale el coseno de cero? 00:42:22
Es 90 más 180 grados k. 00:42:25
Es decir, k pertenece a los números enteros. 00:42:32
O es medio más kpi. 00:42:36
k pertenece a los números enteros. 00:42:41
Y si hago esto de aquí, ¿qué me queda? 00:42:45
Seno cuadrado de x menos 1 es igual a 2 menos 2 seno cuadrado de x. 00:42:48
Esto es 3 seno cuadrado de x y esto aquí es igual a 1. 00:42:54
¿Sí o no? 00:43:01
A 3, a 3, perdona. Eso sí. 00:43:01
Seno cuadrado de x, por favor, dejadme que termine esto, ¿vale? 00:43:11
seno de x es igual a 1 00:43:14
¿qué ángulos son? 00:43:17
pues igual 00:43:19
x es igual a 90 grados 00:43:20
más 180k 00:43:23
¿eh? 00:43:26
¿de qué? 00:43:30
¡ay! es verdad 00:43:34
¡wow! 00:43:36
pero bueno lo engloba 00:43:40
es verdad, lo engloba 00:43:41
lo engloba 00:43:42
Gracias. 00:43:45
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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5
Fecha:
2 de febrero de 2026 - 18:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
43′ 58″
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1.97:1
Resolución:
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