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4MAC - 01 - Números reales - 02 - Propiedades de los radicales. Extracción e introducción de factores - Contenido educativo

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Subido el 28 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este vídeo vamos a estudiar algunas de las propiedades de los radicales que vamos a usar durante el curso, 00:00:02

así como aprender cómo se extraen factores de un radical o cómo se introducen factores en un radical. 00:00:08

La primera de las propiedades que vamos a estudiar es la de la potencia de un radical, 00:00:15

que nos dice que si yo tengo un radical elevado a una potencia, 00:00:19

puedo sustituir eso por el radical de la potencia que yo tendría dentro del mismo, elevada al exponente que aparecía antes fuera. 00:00:23

Es como si el exponente simplemente directamente entrara dentro del radical y yo pudiera efectuar, 00:00:35

usar aquí la propiedad aquella que me decía que la potencia de una potencia se multiplica en los exponentes. 00:00:42

¿De acuerdo? Entonces raíz cuadrada de 2 elevado a 5 es lo mismo que raíz cuadrada de 2 elevado a 15. 00:00:49

¿De acuerdo? Esto surge de la propia definición de radical como potencia exponente fraccionario 00:01:00

que a mí me permite escribir raíz cuadrada de 2 al cubo como 2 elevado a 3 medios. 00:01:09

Si 2 elevado a 3 medios yo lo tengo elevado a 5, potenciado a una potencia se multiplican exponentes, habría que multiplicar 3 medios por 5, que ya sabéis que se multiplican numeradores entre sí, denominadores entre sí, me quedaría 15 medios y si vuelvo de nuevo a traducir esta potencia de exponente fraccionario a radical me quedaría 2 elevado a 15 en el radicando el índice 2. 00:01:16

Lo mismo que teníamos aquí escrito, solo que es mucho más fácil no hacer toda la conversión a potencia de exponente fraccionario, sino aprender a lo mejor quizá esta propiedad nueva. 00:01:44

No lo sé, yo soy partidaria de aplicar solo propiedades que ya conozco, en este caso las propiedades de las potencias, pero la verdad es que es bastante más cómodo simplemente pasar el exponente. 00:01:57

la segunda propiedad es aquella que nos dice que cuando yo tengo un producto 00:02:09

el radical de un producto se puede descomponer como el producto de dos radicales 00:02:13

y sucede lo mismo con un cociente 00:02:18

para multiplicaciones y divisiones 00:02:20

es decir, si yo me encuentro por ejemplo raíz cúbica de un producto de 3 por 5 00:02:23

puedo reescribir esto como raíz cúbica de 3 por raíz cúbica de 5 00:02:28

de igual manera si yo me encuentro raíz cúbica por ejemplo de 3 quintos 00:02:34

puedo reescribir este radical como el cociente entre la raíz cúbica de 3 y la raíz cúbica de 5, ¿de acuerdo? 00:02:38

O sea, es como simplemente hacer el radical de numerador y denominador, ¿vale? 00:02:47

Y o de cada uno de los factores. 00:02:53

Estas propiedades son muy interesantes, ¿vale? 00:02:56

Porque cuando yo las aplico al revés, ¿vale? 00:03:00

Si yo, por ejemplo, me dan, a mí me ponen que haga la multiplicación de dos números, dos radicales que tienen el mismo índice, y esto es importante, que tengan el mismo índice, yo puedo simplemente coger, escribir el signo radical bien grandote, escribir dentro el producto de los radicandos que tenía, ¿vale? 00:03:02

y reescribir esto como raíz de 6. 00:03:25

De igual forma, si a mí por ejemplo me ponen que haga la división entre raíz cúbica de 27 y raíz cúbica de 9, 00:03:28

como tengo los mismos índices, puedo reescribir esto como la raíz cúbica de 27 entre 9. 00:03:35

¿Vale? Es decir, esto sería 27 entre 9 es 3, por tanto, esa división es la raíz cúbica de 3. 00:03:43

ojo porque es súper importante esto de que los dos radicales tienen el mismo índice 00:03:50

¿vale? porque cuando tienen distinto índice lo veremos en algún vídeo más adelante 00:03:58

que las operaciones cambian, es un poquito más tedioso 00:04:02

venga, vamos a ver ahora la última de las propiedades 00:04:05

que dice que si yo me encuentro la raíz de una raíz 00:04:09

para poder simplificar esta expresión simplemente multiplico los índices entre sí 00:04:13

¿Vale? Es tan sencillo como pensar que si, por ejemplo, aquí tengo una raíz cuadrada, que sabéis que el índice no aparece pero se entiende que es 2, y después tengo una raíz cúbica, puedo reescribir esto como el radical, cuyo radical no es 5, pero aquí reescribo los índices como el producto de esos dos que tengo, ¿vale? 00:04:18

De tal manera que este radical es lo mismo que raíz sexta de 5, ¿vale? 00:04:38

Esta propiedad surge de aquella propiedad de las potencias que me decía lo de que aquello de que la potencia de una potencia se calcula multiplicando los exponentes. 00:04:44

¿Por qué surgen las propiedades de las potencias? Pues ya lo vimos en el vídeo anterior. 00:04:54

Realmente yo puedo reescribir esto como raíz cúbica de 5 elevado a 1 medio, ¿vale? 00:04:58

Si cojo la raíz cuadrada y la reescribo y de nuevo podré hacer un paso extra donde deje la potencia de un medio y reescriba la base que ahora es un radical como 5 elevado a un tercio, ¿vale? 00:05:05

De tal manera que como tengo potencias de una potencia, puedo multiplicar los exponentes y si tengo mucho cuidado, puedo reescribir esto como 5 elevado a un sexto, ¿de acuerdo? 00:05:23

Y transformarlo en el radical de índice 6 y exponente 1, que no lo escribo. 00:05:35

Esto lo expliqué con mucho más detenimiento en el vídeo anterior, ¿vale? 00:05:42

Vamos a ver ahora cómo sacamos factores de un radical. 00:05:47

Vamos a ver, en muchas ocasiones, muchísimas ocasiones nos vamos a enfrentar a ejercicios con radicales en los que el radicando lo encontremos factorizado, ¿vale? 00:05:51

O lo tengamos que factorizar nosotros. Esto va a suponer que me voy a encontrar una serie de potencias con exponentes, los que sean dentro de la, bajo el signo radical, ¿vale? 00:06:05

O sea, en el radicando va a haber potencia. 00:06:17

Si los exponentes de esas potencias que yo me encuentro son más grandes que el índice, voy a poder sacarlos de la raíz. 00:06:20

En este primer ejemplo tengo raíz cúbica de 2 al cuadrado, ¿vale? 00:06:28

Como el exponente 2 es más pequeño que el índice 3, no puedo manipular más el radical y lo tendría que dejar así escrito, ¿vale? 00:06:31

Si la potencia es sencilla como esta que se puede calcular de cabeza, podríamos escribirlo así, pero vamos, lo dejaremos indicado, ¿vale? 00:06:40

¿Qué sucede si yo me encuentro una potencia, perdón, un radical donde el índice y el exponente coinciden? 00:06:51

En este caso yo puedo simplificar, ¿vale? Y simplificar el índice con el exponente y esto me dará el resultado 2. 00:07:00

Simplifico raíz cúbica con el exponente 3 y me queda 2 00:07:09

Esto es muy fácil pensarlo, por ejemplo, con la raíz cuadrada de 4 00:07:16

Bueno, que ya sabemos que es 2 y menos 2, ¿vale? 00:07:21

Pero, bueno, si yo realmente pienso, me fijo solo en el positivo, ¿vale? 00:07:24

Si yo realmente pienso que 4 es 2 al cuadrado, puedo simplificar la raíz con el cuadrado y por eso me queda 2, ¿vale? 00:07:28

Con potencias más, bueno, con índices y exponentes más altos que no controlo tanto los números, pues bueno, simplemente simplificamos, ¿de acuerdo? 00:07:36

Lo dificilillo surge cuando el exponente es más grande que el índice. 00:07:47

En ese caso lo que vamos a hacer es grupos de tantos factores, porque ya sabes que 5, por ejemplo, aquí 5 elevado a 8 es 5 por 5 por 5, ta, ta, ta, 8 veces por sí mismo, ¿vale? 00:07:53

Entonces yo puedo agrupar esos factores como quiera y realmente voy a hacer grupitos de tantos factores como me indique el índice. 00:08:03

De tal manera que por cada grupito que yo forme dentro voy a poder sacar un factor. 00:08:13

Mirad, aquí lo voy a hacer dando todos los pasos, luego en clase me iré comiendo alguno. 00:08:18

Realmente yo 5 elevado a 8 es 5 por 5 por 5 por 5, 5 por 5 por 5 por 5, 8 veces por sí mismo. 00:08:24

Yo puedo agrupar esos factores como a mí me vengan gana, los voy a agrupar de 3 en 3, de tal forma que tendré 5 elevado a 3 por 5 elevado a 3 por 5 elevado a 2, ¿vale? 00:08:33

3 5s y 3 5s hacen 6 5s y otros 2 5s por aquí hacen 8 los que tenía, ¿vale? 00:08:47

De esta forma, ¿qué sucede, chicos? Mirad, por cada grupito de tres cincos que yo he hecho, voy a sacar un factor, ¿vale? Imaginaos que esto es como una plastificadora, ¿vale? Algo que le metes tres láminas a una máquina y, como hemos metido tres láminas, plastifica las cosas y me saca un elemento al final, ¿vale? 00:08:52

Entonces, por cada tres elementos sale uno, ¿vale? Es como que pagan un peaje, entonces, del primer grupito sale un cinco, del segundo grupito sale otro cinco y si os dais cuenta me ha quedado, pues aquí, dos cincos sueltos que no hacen grupito con nadie, ¿vale? Entonces, esos los vamos a dejar dentro. 00:09:20

De esta forma, bueno, como yo he sacado dos 5 fuera del radical, pues bueno, los puedo agrupar como potencia, ¿vale? 00:09:40

Y tendría, pues, la siguiente expresión, ¿vale? 00:09:47

Venga, vemos ahora el siguiente ejemplo. 00:09:54

Mirad, en este ejemplo tengo raíz cuarta de 512. 00:09:58

El 512 no me lo están dando factorizado, aquí tengo un problema. 00:10:01

Lo que vamos a hacer es, pues, factorizarlo, ¿vale? 00:10:05

Vosotros lo haréis con el método más eficiente, ¿vale? Pues 512 me queda aquí, 256 entre 2, 128 entre 2, 64 entre 2, 32 entre 2, 16 entre 2, 8 y mirad, aquí no voy a terminar porque ya sé que 8 es 2 al cubo, ¿vale? 00:10:08

Entonces, bueno, agrupo, me he comido tres pasos, ¿vale? 00:10:33

Pero bueno, de esta manera acabo de, bueno, si ahora contamos cuántos factores tengo, 00:10:37

me doy cuenta que 512, perdón, es lo mismo que 2 elevado a 9. 00:10:41

Esto lo vamos a tener que hacer muchas veces, ¿vale? 00:10:47

Reescribir números compuestos, bueno, su descomposición factorial en este caso, 00:10:50

en lugar de 512 voy a tener que escribir 2 elevado a 9, ¿vale? 00:10:55

Y hacemos el mismo proceso de antes. 00:11:00

Yo voy a hacer, ahora lo voy a hacer mentalmente, grupos de 4 doses en este caso, porque como el índice es 4, para poder sacar factores del radical necesito hacer grupos de 4. 00:11:01

Cada 4 doses podrá salir 1. 00:11:14

Como tengo en total 9 doses, puedo hacer un grupo de 4, otro grupo de 4 ya llevaría 8 doses y me sobra 1. 00:11:17

¿Vale? Entonces del primer grupo de 4 sacaría un 2, del segundo grupo de 4 sacaría otro 2 y me queda solito un 2 dentro. 00:11:25

¿Vale? Puedo reescribir esto como 2 al cuadrado por raíz cuarta de 2. 00:11:36

Por último, bueno, tenemos aquí un ejemplo que el 72 seguro que nos sale muchísimas veces, ¿vale? 00:11:42

Y vamos a hacer el mismo proceso. Vamos a intentar, en este caso la raíz es cuadrada, el índice es 2. 00:11:48

Vamos a factorizar el 72 y voy a ver si puedo sacar factores del radical 00:11:54

Vale, mirad, para factorizar el 72 no voy a usar el método de la rayita 00:12:00

Sino que voy a pensar, vale, entonces voy a pensar en el 72 como resultado de una tabla de multiplicar 00:12:07

En este caso, para mí 72 es lo mismo que 8 por 9, vale 00:12:14

Una vez que sé que es 8 por 9, voy a reescribir el 8 y el 9 como potencias de números primos, ¿vale? 00:12:19

Yo creo que ya sabéis todos que 8 es lo mismo que 2 al cubo y que 9 es lo mismo que 3 al cuadrado, ¿vale? 00:12:27

De esa manera lo he factorizado pensando un poquito y no he tenido que hacer todo el proceso de la rayita, ¿vale? 00:12:34

Entonces, bueno, pues una vez que lo tengo así escrito, el proceso es el mismo, ¿vale? 00:12:41

Aquí realmente no tengo índice, pero sabéis que si un radical no tiene índice, se entiende que su índice es 2 y vamos a hacer exactamente lo mismo, o sea, ahora lo que pasa es que ahora pues tengo potencias diferentes, ¿vale? 00:12:45

O sea, que tienen una base diferente, pero el proceso es el mismo. 00:13:03

Aquí tengo tres doses, como el índice es 2, por cada grupito de dos doses sale un 2 fuera, ¿vale? 00:13:08

Entonces, va a poder salir un 2, porque de los tres doses voy a hacer un grupito de dos y me va a quedar uno dentro, ¿vale? 00:13:16

No se junta el pobrecito con nadie. 00:13:23

Y del grupo de dos treses, pues justo, o sea, si tengo tres al cuadrado con el dos, pues pueden salir los dos treses y quedarían fuera, ¿vale? 00:13:25

Y ya está, o sea, dentro del radical solo me ha quedado raíz de dos. 00:13:34

Puedo ahora reescribir esto, hacer esta operación, dos por tres es sencilla, puedo escribir seis y raíz cuadrada de dos, pues bueno, ya quito el radical y dejo seis raíz de dos. 00:13:38

Venga, vamos a ver muy rápidamente el proceso inverso a sacar factores de un radical, ¿vale? 00:13:51

Venga, si os dais cuenta, para sacar factores de un radical, por cada grupo de 3 salía 1. 00:13:56

En este caso, porque el índice era 3, en este caso por cada grupo de 4 salía 1 y en este caso por cada grupito de 2 salía 1. 00:14:02

Pues meter factores de un radical es el proceso contrario. 00:14:09

Si yo tengo un número, lo voy a meter dentro del radical elevado a lo que me indique el índice, ¿vale? 00:14:12

En este caso, bueno, no tenemos nada, entendemos que son 2, si yo quiero meter el 3 dentro del radical de la raíz cuadrada, tendré que elevarlo al índice que tenía, ¿vale? 00:14:19

En este caso, como la raíz era cuadrada, elevo 3 al cuadrado, así lo meto, es como que lo, pues bueno, como lo contrario a lo que hace la plastificadora, ¿vale? 00:14:32

o sea, meto un elemento y salen, o sea, aparecen dos en este caso porque el índice es dos. 00:14:42

Si queréis hacer esta operación, pues tres al cuadrado es nueve por cinco, cuarenta y cinco. 00:14:48

Mirad lo que tenemos aquí, ahora tengo que meter dentro del radical cinco al cubo y en este caso el radical es de índice tres, 00:14:54

por tanto voy a hacer un gran radical de índice tres y voy a meter cinco al cubo elevado a lo mismo que me indica el índice en este caso a tres. 00:15:01

Ojo porque este 3 que ya había es el que ya tenía el 5 y el 3 detrás del paréntesis es el que he tenido que multiplicar para introducirlo. 00:15:12

Y que no se me olvide poner el 2. 00:15:23

Entonces una vez que tenemos esto así escrito, lo podemos simplificar un poquito más escribiendo 5 elevado a 9 por 2. 00:15:26

Por último, en este último ejemplo tendríamos 12 raíz de 3. 00:15:35

Me piden introducir el 12 dentro del radical, pues bueno, de nuevo será tomar el 12, ¿vale? 00:15:41

Y elevarlo, en este caso como la raíz es cuadrada, pues elevo 12 a 2 y escribo el 3 que ya vi. 00:15:48

¿Qué vamos a hacer aquí? Pues bueno, chicos, si os dais cuenta, a ver, 12 es un número compuesto que yo puedo reescribir como producto de números primos, ¿vale? 00:15:55

12 es lo mismo que 4 por 3 ¿vale? y 4 es 2 al cuadrado ¿vale? por tanto yo puedo reescribir 12 como 2 al cuadrado por 3 00:16:05

¿qué voy a hacer aquí? reescribir el 12 como 2 al cuadrado por 3 00:16:15

escribirle la potencia, el exponente que ya tenía y volver a copiar el 3 ¿vale? 00:16:20

de esta manera, bueno pues voy a poder agrupar aquí cositas dentro ¿vale? 00:16:26

es como un ejercicio de potencias metido ahí en el radicando 00:16:30

Ya sabéis que si tengo un producto de potencias elevado a un mismo exponente es como si tuviera cada uno de los factores elevados a ese exponente, 2 al cuadrado, otra vez al cuadrado por 3 al cuadrado y por 3, ¿vale? El 3 que ya había, ¿vale? 00:16:34

Entonces esto puedo volver a reescribirlo como 2 a la cuarta por 3, en este caso al cubo, ¿vale? 00:16:53

Porque he agrupado 3 al cuadrado por 3. 00:17:02

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Fecha:: 28 de septiembre de 2020 - 22:10
Visibilidad:: Público
Centro:: Sin centro asignado
Duración:: 17′ 08″
Relación de aspecto:: 16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:: 1376x776 píxeles
Tamaño:: 670.51 MBytes