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T6 - ej 7 - Contenido educativo

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Subido el 14 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a ver cómo calcular el área comprendida entre el eje y una función en un intervalo concreto. 00:00:00
Lo vamos a hacer con el ejercicio 7 en el que nos dan la gráfica que es un polinomio de grado 3 00:00:07
y nos piden el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje de abscisas y las rectas x igual 0 y x igual a 3. 00:00:12
O sea que el intervalo de integración es el intervalo 0,3. 00:00:21
Lo primero que se va a hacer siempre, que vamos a hacer siempre en estos casos, es calcular los puntos de corte de la función con el eje x, con el eje de abscisas. 00:00:25
Entonces para ello resolvemos la ecuación x cubo, en este caso concreto, menos 3x cuadrado menos x más 3 igual a 0. 00:00:35
Es decir, resolvemos siempre la ecuación f de x igual a 0. 00:00:45
Como es un polinomio de grado 3, vamos a factorizarlo, vamos a utilizar Ruffini, 1, menos 3, menos 1, 3, y además como la suma de los coeficientes es 0, sabemos que el 1 va a ser una de las raíces, 1 por 1, 1, menos 2, menos 2, menos 3, menos 3, 0, ¿vale? 00:00:49
Luego ya sabemos que el primer factor que tenemos es el x menos 1. 00:01:15
Ahora aquí podríamos directamente ya resolver la ecuación de segundo grado o seguir haciendo Ruffini, ¿vale? 00:01:20
El 1 no va a ser, en este caso no va a seguir siendo solución porque la suma de los coeficientes no da 0. 00:01:28
Vamos a probar por ejemplo con el menos 1, a ver si tenemos suerte. 00:01:40
este sería menos 1, menos 2 por menos 1 es menos 3, menos 1 por menos 3 es más 3, por lo tanto también es 0. 00:01:42
Por lo tanto ya sí tenemos las tres soluciones, ¿no? Las tres raíces. 00:01:54
Es decir, tenemos que el polinomio o que las soluciones de aquí son, por un lado, x igual 1, x igual menos 1, 00:01:58
y del resto, el que me queda x menos tres, si lo igualo a cero, me queda x igual a tres, ¿vale? 00:02:08
Pues estas van a ser mis tres raíces. 00:02:17
Entonces, a ver, es un polinomio de grado tres. ¿Para qué vamos a hacer esto? 00:02:21
Voy a hacer una especie de esbozo, como siempre os digo, de la función. 00:02:26
mis soluciones, o sea, mis raíces son en el menos 1, 1, 2 y 3 00:02:30
¿vale? aquí es donde corta en el menos 1, en el 1, donde corta al eje x 00:02:39
¿vale? ¿cómo va a ser esta función? 00:02:49
bueno, tenemos que tener en cuenta que nuestro intervalo de integración es el 0,3 00:02:51
por lo tanto voy a mirar a partir del 0 00:02:57
¿vale? pero en general 00:03:01
¿cómo va a poder ser esta función? 00:03:03
pues a ver, esta función 00:03:05
o bien, no sé, no tengo ni idea 00:03:06
no he calculado nada más 00:03:08
podríamos mirar también que en el 0 va a pasar por el 3 00:03:09
pero bueno, la cuestión es que como es un polinomio 00:03:12
es continua, la función va a ser 00:03:15
algo así 00:03:17
¿vale? 00:03:17
y por lo tanto lo que me estarían pidiendo es 00:03:20
entre 0 y 3 00:03:23
me estarían pidiendo calcular esta área 00:03:25
entre el 0 y 1 y entre el 1 y el 3 00:03:28
serían mis métodos, mis límites de integración 00:03:32
o bien sería de esa manera 00:03:35
o bien sería, vamos a cambiar de color 00:03:37
o bien sería al revés 00:03:41
decreciendo por aquí y aquí creciendo 00:03:44
¿vale? y en este caso 00:03:50
lo que me estarían pidiendo es esta área que está por aquí debajo 00:03:52
y esta área que está por aquí arriba 00:03:55
Pero independientemente de si es la verde o si es la azul, en el fondo lo que tenemos que hacer es exactamente lo mismo 00:03:57
Porque lo que tenemos que hacer para calcular el área es la integral entre 0 y 1 más la integral entre 1 y 3 00:04:05
Porque son justamente los puntos en los que tenemos que integrar ya que nuestro intervalo es el 0,3 00:04:13
Y fijaos también lo que os había comentado en clase 00:04:20
¿Cuál es la diferencia? Aunque mis dibujos están bastante mal hechos, puede estar mucho más arriba, mucho más abajo, pero en el fondo van a ser, las áreas son simétricas 00:04:24
¿Qué es lo que ocurre? Si son simétricas me refiero al azul con la verde, si fuera una hacia arriba o hacia abajo, no las dos verdes o las dos azules 00:04:35
la cuestión es que si el área está por encima del eje x 00:04:47
ese área es positivo, o sea el valor de la integral es positivo 00:04:51
sin embargo, si está por debajo del eje x 00:04:55
el área, o sea el valor que vamos a obtener es negativo 00:04:58
y como las áreas no pueden ser negativas 00:05:01
lo que siempre vamos a calcular es 00:05:04
lo que siempre vamos a poner es valor absoluto 00:05:06
entonces el área, que es lo que me piden 00:05:11
El área va a ser la integral entre quien hemos dicho, entre 0 y 1, ¿vale? 00:05:14
Entre 0 y 1 de mi función, que es x cubo menos 3x cuadrado menos x más 3, 00:05:22
diferencial de x más la integral entre 1 y 3 de la misma función 00:05:32
de x cubo menos 3x cuadrado menos x más 3 diferencial de x 00:05:43
y como os acabo de decir que no sé cuál de las dos es positiva y cuál es negativa 00:05:51
lo que voy a hacer es poner valores absolutos delante de cada una de las integrales 00:05:56
y de esta manera me aseguro que lo que voy a calcular es el valor correcto, o sea, un área que es positivo. 00:06:02
Vale, he bajado un poquito, he pausado para bajarlo y ahora simplemente lo que tenemos que hacer es calcular estas integrales, 00:06:09
o sea, es aplicar la regla de Barrow simplemente, entonces esto va a ser igual al valor absoluto, ¿de quién? 00:06:15
Es un polinomio, por lo tanto es una potencia, la primitiva sería x4 partido por 4 menos x cubo menos x cuadrado partido de 2 más 3x y esto lo vamos a evaluar entre el 0 y el 1. 00:06:23
Y aquí ponemos el valor absoluto. Más, y ahora lo mismo. Valor absoluto, y esto vuelve a ser, es la misma integral, x cuarta partido de 4 menos x cubo menos x cuadrado partido de 2 más 3x, y esto lo vamos a evaluar entre 1 y 3. 00:06:41
y cerramos el valor absoluto, y esto va a ser igual, primer valor absoluto, en el 1 esto es un cuarto, menos 1, menos un medio, más 3, 00:07:04
menos, he evaluado en el 0 que todo es 0, cierro el valor absoluto, más, siguiente valor absoluto, he evaluado en el 3, 00:07:19
3 a la cuarta es 81, 81 cuartos menos 27 menos 9 medios más 3 por 3, 9 00:07:27
Y ahora lo tenemos que evaluar en el 1 con un menos delante, ¿vale? 00:07:41
Entonces voy a ir poniendo, lo voy a hacer ya teniendo en cuenta que siempre va a ser el opuesto de lo que debería ser 00:07:45
es un cuarto, menos con el menos me queda un más uno, menos con el menos me queda más 00:07:51
un medio y menos con el más me queda menos tres, ¿vale? Y ahora lo único que tenemos 00:07:58
que hacer es sumar estas, vamos, todas estas fracciones, ¿vale? Lo voy a hacer con calculadora 00:08:05
para acabar antes. La primera me da siete cuartos, voy a dejarlo para los absolutos, 00:08:13
más, y la otra me da 00:08:20
¿cuánto me da? 00:08:22
voy a esperar que lo mire 00:08:23
menos 4 00:08:24
¿veis? por eso necesitamos poner 00:08:26
el valor absoluto 00:08:32
¿y esto cuánto va a ser? pues 23 00:08:33
cuartos 00:08:35
y vamos a poner siempre, como no sabemos cuál va a ser mi unidad 00:08:37
vamos a poner unidades al cuadrado 00:08:40
fijaos que la segunda parte 00:08:42
voy a ir hacia arriba 00:08:44
la segunda integral es la negativa 00:08:45
por lo tanto la función sería 00:08:47
como la verde 00:08:50
¿Vale? 00:08:51
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
10
Fecha:
14 de diciembre de 2025 - 15:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
08′ 54″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
22.29 MBytes

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