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Corrección Examen Álgebra + Probabilidad - Bachillerato CT - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Corrección Examen 2 - 1a evaluación

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Para la grabación, después leed bien el enunciado y después podéis escuchar la corrección. 00:00:01
A ver, una ley de la economía es que el beneficio, vale, es igual al ingreso menos el coste, cosa muy lógica. 00:00:11
Y el ingreso suele ser, pues, el número de unidades vendidas por lo que está vendido. 00:00:22
Pero bueno, aunque no se sepa mucho de economía, sí que está claro que lo que cuesta una bicicleta, o sea, el precio de la bicicleta, sería lo que cuesta producirla más lo que gana el que la vende. 00:00:26
Y el total sería el precio de cada bicicleta. 00:00:48
En este caso, viendo lo que tenemos, el coste lo hemos dividido en dos 00:00:50
Por una parte el coste de los materiales y por otra parte el coste de producción 00:00:58
Materiales pues sería el caucho, el aluminio o el hierro, los materiales que tenga la bicicleta 00:01:07
Y el coste de producción pues la electricidad, mano de obra, etc. 00:01:17
Y luego está la ganancia 00:01:23
Entonces nosotros vamos a llamar el costo de materiales a la X, el costo de producción a la Y y la ganancia a la Z. 00:01:24
Bien, la primera ecuación sería que X más Y más Z es el precio de la bicicleta, que son 120 euros. 00:01:35
En este caso, pues 120. 00:01:45
Por otra parte, nos dicen que hay un nuevo sistema de producción. 00:01:48
Entonces, en el nuevo sistema nos dicen que el coste de los materiales, el nuevo coste de los materiales, disminuye un 20%. 00:01:50
Es decir, teníamos el 100, le quitamos el 20 y se queda en un 80%, que es lo mismo que 0,8. 00:02:13
Se podría poner, si queréis, como X', la nueva X, que sería 0,8X. 00:02:22
Por otra parte, el coste de producción aumenta un 10%. 00:02:34
Teníamos un 100, le sumamos un 10 y ahora tenemos un 110%, que esto es igual a un 1,1. 00:02:47
Con lo cual, la nueva I' sería 1,1 I. 00:02:58
Y por otra parte nos dice que con el mismo precio por bicicleta, es decir, que el precio seguiría siendo 120, 00:03:05
los beneficios aumentarían un 40%, con lo cual el nuevo beneficio pues aumenta un 40%, 00:03:16
entonces tendríamos un 100% que teníamos antes más un 40% sería un 140%, que es lo mismo que un 1,4. 00:03:29
Entonces, la nueva Z, se puede llamar Z', sería 1,4 veces la antigua Z. Fijaos que este X sería la X anterior menos 0,2X, que es 0,8X, bueno, X', bueno, sí, esto está bien. 00:03:39
La nueva Y sería la Y anterior más el 0,1Y, que sería 1,1Y, y la nueva Z sería la antigua Z más 0,4Z, y esto es 1,4Z. 00:03:56
Entonces la segunda ecuación sería que la nueva X, la nueva Y y la nueva Z suman 120 euros 00:04:15
Es decir, tendríamos que 0,8X más 1,1Y más 1,4Z es igual a 120 euros 00:04:25
Por último nos dicen que el coste de los materiales es un 50% mayor que el coste de producción 00:04:38
ojo, mayor 00:04:48
eso quiere decir 00:04:51
vamos a escribirlo aquí, por ejemplo 00:04:56
que la Z 00:04:58
perdón, lo he dicho mal 00:05:02
la X, que es el coste 00:05:06
de materiales, sería 00:05:08
pues 00:05:10
sería la Y más la mitad 00:05:13
de la Y 00:05:16
es decir 00:05:16
si la Y es el 100% de Y 00:05:18
y le sumamos un 50% más 00:05:21
sería un 150% 00:05:24
Resolvamos, la X sería la Y más el 50% que estaría con 5 veces la Y 00:05:26
Es 1, veces Y 00:05:32
Entonces la tercera ecuación sería que X es 1,5 veces Y 00:05:34
Y con esto ya podemos resolver el problema 00:05:39
Pues tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas 00:05:43
Nos piden en la pregunta número A 00:05:46
Hallar los costes de mando de los materiales 00:05:51
Esto es la X 00:05:53
De producción, esto es la Y 00:05:55
y el beneficio 00:05:57
bueno, pues esto es resolver el sistema de ecuaciones 00:05:59
una opción sería 00:06:02
pues coger esta ecuación 00:06:04
pues escribirla del modo 00:06:05
x menos 1,5 y 00:06:08
igual a 0 y realizar 00:06:10
el método de Gauss 00:06:11
otra opción sería pues hacer esta sustitución 00:06:12
dentro de estas dos ecuaciones 00:06:16
por ejemplo 00:06:18
tendríamos 00:06:20
pues si x es 1,5 y 00:06:20
tendríamos 1,5 y 00:06:22
más i más z es igual a 120, es decir, sumando estas dos, 2,5i más z es igual a 120. Lo mismo aquí, 0,8 por 1,5i más 1,1i más 1,4z es igual a 120. 00:06:25
Y si calculamos esto, pues nos da 1,2i más 1,1i más 1,4z igual a 120. Esto es 2,3i más 1,4z es igual a 120. 00:06:48
De modo que nos quedaría el sistema de ecuaciones 1,2, perdón, este de aquí y este de aquí. 2,5i más z es igual a 120 y 2,3i más 1,4z es igual a 120. 00:07:15
Se puede hacer de muchas maneras, por ejemplo, proclame x podría ser 120, 120, 1, 1,4 entre 2,5, 1, 2,3 y 1,4, perdón, x, quería decirla ahí. 00:07:38
Y la Z podría ser 2,5, 2,3, 120, 120, entre 2,5, 2,3, 1 y 1,4. 00:08:04
Si lo calculáis, os daría aquí 48, aquí 1,2, luego aquí es 1,2 porque es igual que este, y aquí sería 24. 00:08:24
Y si hacéis las divisiones, obtendréis aquí 40 y aquí 20. 00:08:35
Con lo cual obtenemos la Y y la Z, nos falta la X, X es 1,5Y, que es 1,5 por 40, que es 60. 00:08:43
Y ya tendríamos las tres soluciones. 00:08:52
No obstante, en el problema hay que decirlo como nos lo piden. 00:08:57
Entonces escribiríamos solución, pues coste materiales, pues 60 euros, portada de bicicleta, coste de producción 40 euros y beneficio sería 20 euros. Esto en el A. 00:09:01
Ahora nos piden el B, que es cuáles sean las cosas y materiales, producción y beneficio, como el nuevo sistema. 00:09:28
Hemos puesto antes que la nueva X es 0,8, la nueva Y es la anterior, 1,1 la anterior y la nueva Z es 1,4 la anterior. 00:09:36
Por tanto, ¿qué le podemos llamar X'? 00:09:46
Bueno, se puede poner entre los números 00:09:50
Podríamos poner que X' es 0,8 por X 00:09:51
Que es 0,8 por 60, que es 48 00:10:00
Y' es 1,1 por Y 00:10:04
Que es 1,1 por 40 00:10:07
Que son 44 euros 00:10:11
Y Z' sería 1,4 por Z 00:10:13
Esto es 1,4 por 20 que son 28 euros. Con lo cual en la B la solución es el nuevo coste de materiales, son 48 euros, el nuevo coste de producción son 44 euros y el nuevo beneficio que son 28 euros. 00:10:18
Y hemos terminado. 00:10:58
Podéis parar la grabación, leer bien el enunciado y después escuchar la corrección. 00:11:07
Bueno, corregimos. 00:11:13
Antes de nada, hay una forma de hacer este problema, que es demostrar primero que los sucesos son independientes 00:11:17
y después, con eso, calcular todas las probabilidades. 00:11:23
Lo que pasa es que no voy a hacerlo así por cuestiones pedagógicas, 00:11:28
porque me interesa ver los métodos para calcular todas las probabilidades. 00:11:32
Entonces, antes de nada, vamos a dibujar la tabla, ponemos los valores, aquí tenemos A, su complementario, B, su complementario, la probabilidad de A que es 0,2, la de B que es 0,5 y la del total que es 1. 00:11:37
Con esto podemos completar lo que nos falta, la de A complementario sería 0,8, la de B complementario sería 0,5, en ambos casos es 1 menos la que teníamos. 00:12:07
Bien, y para poder completar la tabla 00:12:18
Necesitaríamos cualquiera de estas probabilidades 00:12:22
La de A intersección B, que sería esta 00:12:26
La de A intersección B complementario, que sería esta 00:12:29
La de A intersección B, que es esta 00:12:31
O la de A complementario intersección B complementario 00:12:32
Y eso lo haríamos utilizando esto 00:12:35
¿Cómo? 00:12:38
Pues lo haríamos con la fórmula de que 00:12:43
Probabilidad de A unión B es igual a 00:12:45
probabilidad de A, más la probabilidad de B, perdón, A complementario quería poner, 00:12:50
la probabilidad A complementario de un B es la probabilidad de A complementario, más 00:12:57
la probabilidad de B, menos la probabilidad de A complementario intersección B. 00:13:00
Esto lo conocemos, porque es 0,9, nos lo dice enunciado, esto lo conocemos porque lo hemos 00:13:07
cogido y calculado en la tabla, es 0,8, esto lo conocemos, nos lo da enunciado, es 0,5, 00:13:13
Y esto es lo que nos preguntan, el probabilidad de A complementario intersección B. 00:13:22
Bueno, lo que queremos calcular. 00:13:27
Probabilidad de A complementario despejando intersección B, 00:13:29
pues haríamos esto a la izquierda, 00:13:32
eso se quedaría donde está, 0,8 más 0,5, 00:13:34
y el 0,9 pasa a la derecha. 00:13:37
Sería 1,3, que es esta suma, menos 0,9, 00:13:41
lo que nos da 0,4. 00:13:47
4. Entonces, A complementario 00:13:50
intersección B es 0,4. Y con esto 00:13:54
podemos calcular lo demás. Porque 00:13:58
tendríamos que 0,8 menos 0,4 00:14:01
es 0,4. 0,5 que es la B menos 0,4 es 00:14:08
0,1. Y 0,2 menos 0,1 es 0,1. 00:14:13
Y ya está. Y ahí tenemos todas las probabilidades. 00:14:18
ya podemos hacer los apartados 00:14:21
apartado A con facilidad y el B también 00:14:23
apartado A 00:14:26
nos piden la probabilidad de B 00:14:28
condicionado a 00:14:30
pues eso cuánto es 00:14:31
la probabilidad de B 00:14:34
intersección A 00:14:36
entre la probabilidad de 00:14:39
en realidad 00:14:41
para calcular esto no haría falta calcular la tabla 00:14:44
porque el A intersección B complementario 00:14:46
lo habíamos calculado ya 00:14:48
o sea no haría falta calcular todo lo demás 00:14:49
Y eso también lo hemos calculado ya. De modo que sería únicamente sustituir, sería el de arriba que es 0,4 entre el de abajo que es 0,8 y eso sería un medio, que se ve directamente, o si queréis 0,5. 00:14:53
y ya lo tendríamos 00:15:10
bien, vamos 00:15:13
a la segunda parte 00:15:15
probabilidad de A 00:15:18
A intersección B 00:15:19
unión 00:15:21
A intersección B 00:15:23
un pequeño aviso, vale 00:15:25
con este dato ya sabemos que son independientes 00:15:27
porque si os fijáis la probabilidad de B 00:15:30
condicionada A es igual a la probabilidad de B 00:15:31
eso solo ocurre 00:15:33
con eso ya podéis demostrar que B 00:15:35
y A complementarios son independientes 00:15:37
lo cual es equivalente a decir que B y A son independientes. Pero bueno, lo demostraremos 00:15:40
después con la fórmula habitual. La segunda pregunta sería ¿cuál es la unión? Fijaos que 00:15:51
siempre que tengáis el A complementario con la B, estos van a ser siempre incompatibles, 00:16:02
O sea, van a tener intersección vacía siempre. 00:16:08
Porque, si lo dibujáis... 00:16:10
No, esta tabla ya es un buen dibujo, ¿vale? 00:16:14
De las intersecciones. 00:16:16
Si ponéis el A complementario y el B y el B complementario, eso es un buen diagrama ya. 00:16:19
Porque ya nos dibujan en cada sitio, en cada uno, y cómo no están metidos. 00:16:24
O sea, cómo son todos... 00:16:29
Cada intersección es una incompatible con la otra. 00:16:31
¿Cuál es la razón? 00:16:43
La razón es que esto está metido en A 00:16:43
Y esto está metido en A complementario, por ejemplo 00:16:47
Bueno, os voy a hacer con estos dos, ¿vale? 00:16:50
A ver, aquí aparece un A complementario, luego eso está metido en A 00:16:57
Aquí aparece un B complementario, luego está metido en B 00:17:05
Por tanto, A intersección B 00:17:08
Intersección A complementario intersección B complementario 00:17:11
Está metido en A intersección complementario, que es el vacío 00:17:16
Entonces, estas cosas en que tengamos 00:17:20
Siempre que haya una 00:17:23
En la intersección 00:17:25
Un complementario en un sitio y en el otro no 00:17:26
Van a tener intersección vacía siempre 00:17:29
¿Vale? Con lo cual 00:17:31
Pero también en la tabla ya veis que tienen intersección vacía 00:17:32
Con lo cual, ¿la suma cuál sería? 00:17:35
Entonces la unión va a ser la suma 00:17:37
Porque tienen intersección vacía 00:17:39
Entonces sería la probabilidad de A 00:17:41
Intersección B 00:17:42
Más la probabilidad de A 00:17:44
Intersección B complementaria 00:17:46
Lo cual se puede hacer directamente mirando la tabla 00:17:47
punto sería este más este y punto y se podría poner directamente 0,4 más 0,1 que es 0,5 00:17:50
con poner esto y esto estaría bien la tercera sería la probabilidad de b condicionado a 00:18:00
unión B. ¿Qué es la probabilidad de...? 00:18:10
Vale, vamos a ver. B, intersección 00:18:15
A unión B, entre la probabilidad 00:18:19
de A unión B. ¿Cómo sería esto? Pues antes de nada, 00:18:23
esto, es que tenemos, a ver, tenemos A unión B, 00:18:28
que es todo esto, y luego 00:18:35
el B, que es esto. La intersección de los dos es B 00:18:42
porque B está metido en el otro 00:18:51
con lo cual esto es automáticamente 00:18:52
la probabilidad de B 00:18:55
entre la probabilidad de A 00:18:57
unión B 00:18:59
bien 00:19:00
y esto ya se puede hacer 00:19:04
pues la probabilidad de B ya la conocemos 00:19:07
es 0,5 00:19:08
y la probabilidad de A unión B 00:19:13
se puede ver en la gráfica 00:19:17
es esto 00:19:18
es el 0,1 00:19:21
más 0,1 00:19:24
más 0,4 00:19:25
Esto es 0,5 entre 0,6 00:19:27
Que es 5 sextos 00:19:32
Y si lo queréis hacer con decimales 00:19:36
Pues sería 0,8333 periodo 00:19:37
¿Vale? 00:19:41
Y ya está 00:19:43
O si queréis 0,83 periodo 00:19:44
Pero bueno 00:19:48
Con 4 decimales es una buena aproximación 00:19:48
Observaciones importantes 00:19:51
Vamos a ver 00:19:55
Hay gente que lo que ha hecho es 00:19:55
poner que esto es la probabilidad de B 00:19:57
o la probabilidad de A unión B 00:20:00
porque si viendo más tarde que son independientes 00:20:03
pues entonces asume que son independientes 00:20:07
vamos a ver, eso no es cierto 00:20:08
lo que tenemos es que si A y B son independientes 00:20:10
entonces A y B complementario son independientes 00:20:17
o sea es lo mismo 00:20:21
y A complementario y B son independientes 00:20:22
y que A complementario y B complementario son independientes 00:20:25
cada una de esas cuatro afirmaciones son equivalentes 00:20:29
una a la otra 00:20:32
pero esto no quiere decir que las uniones lo sean 00:20:35
de hecho A y A unión B 00:20:39
no suelen ser independientes 00:20:41
de hecho son independientes en casos extremos 00:20:45
por ejemplo, que A sea el vacío 00:20:49
que A tenga probabilidad 0 00:20:50
o que A tenga probabilidad 1 00:20:53
se puede comprobar fácilmente 00:20:54
pero de forma general no son independientes 00:20:56
entonces lo que hay que hacer es lo que hemos hecho aquí 00:20:58
calcular la intersección, que es muy fácil y ya está 00:21:01
Entonces, ¿eso estaría mal? Eso estaría mal. 00:21:05
Pregunta B. 00:21:07
¿Demos a que son independientes? 00:21:08
Bueno, pues lo más fácil es ver que probabilidad de A, intersección B, es la probabilidad de A o la probabilidad de B. 00:21:09
Si queréis lo podemos poner como una interrogación. 00:21:17
Probabilidad de intersección B es 0,1. 00:21:21
Y la probabilidad de A es 0,2. 00:21:25
La de B es 0,5. 00:21:28
Y efectivamente el producto es 0,1. 00:21:29
Como se cumple, entonces tenemos que A y B, por tanto, A y B son independientes, son sucesos independientes. 00:21:32
Y ya hemos terminado. 00:21:49
Bueno, antes de nada, ya sabéis que he anunciado que había este problema en el examen, que estaba tomado de la EBAU, 00:21:53
pero, o bien había una imprecisión, porque la forma de escribirlo parecía indicarte que se hacía empleando los problemas de la prueba de Tali de Valles, 00:22:00
mientras que el enunciado en sí no indicaba eso. 00:22:10
Entonces, para arreglar ese problema, he cambiado el enunciado del examen 00:22:14
para que realmente haya que emplear el teorema de la probabilidad total y de Bayes. 00:22:19
Porque el objetivo de este vídeo es enseñar cosas más que la corrección. 00:22:24
Entonces, se podría haber interpretado el del examen de otra manera, 00:22:29
y pues, porque el del examen básicamente era mucho más sencillo tal como estaba, 00:22:33
Tendríamos un test donde se puede estar enfermo y sano, de positivo o negativo. 00:22:40
Entonces, tal como estaba en el examen, se puede interpretar que el estar enfermo sería 0,04 00:22:49
y que las probabilidades de los casos positivos, etcétera, eran las intersecciones. 00:22:55
En cuyo caso sería muy fácil de resolver. 00:23:03
Bueno, pues por ello he cambiado el enunciado 00:23:05
De forma que ya sí que hay que interpretarlo por el teorema de Bayes 00:23:11
¿De acuerdo? 00:23:14
Bueno, pues nada 00:23:16
Igual que en las otras ocasiones 00:23:16
Podéis parar la grabación 00:23:20
Leer bien el enunciado 00:23:26
Y después escuchar la corrección 00:23:27
Bueno, pues lo hemos enunciado 00:23:30
Y nos hablan de que tenemos dos sucesos 00:23:34
Que es estar enfermo 00:23:39
y estar sano 00:23:40
y otros que son complementarios 00:23:42
lógicamente 00:23:45
y otros que es dar positivo en el test 00:23:46
o dar negativo 00:23:49
dar positivo significa que el test 00:23:51
dice que estás enfermo 00:23:53
¿qué nos dan de información? 00:23:55
nos dan de información que 00:23:59
un 4% de enfermo 00:24:00
nos dicen la probabilidad de estar enfermo 00:24:02
que es 4% que es 0,04 00:24:04
la de sano entonces sería 0,96 00:24:06
y nos dan 00:24:08
Son dos probabilidades que son condicionadas. Que el 2% de los sanos son falsos positivos, esto es que la probabilidad de dar positivo sabiendo que es sano es el 2%, 0,02. 00:24:12
Y que el 1% de los enfermos son falsos negativos, que la probabilidad de dar negativo sabiendo que es enfermo sería 0,01. 00:24:29
Entonces, ¿qué tenemos? Pues tenemos la probabilidad de estar enfermo y sano, y luego, condicionadas de ser positivo y negativo, los criterios de sano y enfermo. 00:24:43
Bueno, pues cuando tenemos esto, o sea, la probabilidad de estar enfermo o sano, una de las dos, y una condicionada con estar sano y otra con estar enfermo, en este caso ya se puede emplear el árbol y utilizar el teorema de la probabilidad total y el de Bayes. 00:24:53
Bueno, pues vamos a poner el árbol 00:25:10
Aquí tendríamos que salga positivo, que salga negativo 00:25:14
Y aquí que salga positivo y que salga negativo 00:25:18
Entonces, nos dicen que 00:25:21
La probabilidad de que te dé positivo si eres sano 00:25:25
Es decir, que sería el falso positivo 00:25:31
Es el 2%, que es 0,02 00:25:33
La probabilidad de que te dé positivo sabiendo que estás sano 00:25:39
Y los pasos negativos, es la otra probabilidad que nos dicen 00:25:43
La de que dé negativo sabiendo que estás enfermo 00:25:46
O sea, de los enfermos 00:25:51
Da negativo en el texto, 0,01 00:25:53
Y sabiendo esto ya podemos acabar el árbol 00:25:57
Porque aquí tendríamos el 0,99 00:26:02
Aquí el 0,98 00:26:04
Y con esto ya podemos hallar las probabilidades 00:26:06
Multiplicando 0,04 y 0,99 obtenemos 0,0396. 00:26:11
Multiplicando nuevamente 0,04 por 0,01 obtenemos 0,0004. 00:26:25
Multiplicando 0,96 por 0,02 obtenemos 0,0192. 00:26:34
Y multiplicando 0,96 por 0,98 obtenemos 0,9408. 00:26:42
Aunque no hace falta escribir lo que voy a escribir ahora, de acuerdo, lo voy a hacer para luego hacer algún comentario. 00:26:52
Y es que esta probabilidad de aquí es la probabilidad de ser enfermo y a la vez dar positivo, es decir, la probabilidad de ser enfermo e intersección positivo. 00:27:01
Esto es la probabilidad de enfermo intersección negativa, la probabilidad de sano intersección positiva y la probabilidad de sano intersección negativa. 00:27:10
Bueno, pues ahora resolvemos los apartados A, B y C. 00:27:24
Entonces, la que nos pide nos dice la probabilidad de que el test dé un resultado negativo. 00:27:34
Bueno, pues sería la probabilidad de dar negativo, que es, pues miramos el árbol y tenemos que es negativo aquí y aquí. 00:27:41
Con lo cual sería sumar esto más esto. Sería sumar 0,0004 más 0,9408, lo que nos da 0,9412. 00:27:55
Bien, ya está 00:28:09
En la segunda 00:28:12
Bueno, una pequeña observación 00:28:14
Es que este 0,04 00:28:17
Es la probabilidad de estar enfermo 00:28:19
Intersección 00:28:21
Ser negativo 00:28:23
Y este 0,9408 00:28:25
Es la probabilidad de estar sano y dar negativo 00:28:26
Podéis ver que hemos utilizado el teorema de la probabilidad total 00:28:28
Para sumar esto y esto 00:28:32
En la segunda 00:28:35
¿Qué nos dicen? 00:28:37
nos piden también una probabilidad 00:28:38
y nos dicen 00:28:39
si la prueba da un resultado positivo 00:28:41
es condicionada, como veis 00:28:44
calcula la probabilidad de que realmente sea sana 00:28:45
es decir, nos piden la probabilidad de estar sano 00:28:48
sabiendo que la prueba daba positivo 00:28:50
entonces, ¿qué sería aplicar la definición de probabilidad condicionada? 00:28:52
sano, intersección, positivo 00:28:57
entre la probabilidad 00:28:59
de dar positivo 00:29:00
entonces, una forma de hacerlo 00:29:02
sería, pues, coger el árbol 00:29:07
¿Y qué nos piden? Sano y tensión positivo. Pues sano, positivo. Sería primero esta suma. 0,0192. Y ahora la de abajo, pues uniríamos los dos positivos, aquí y aquí, con lo cual pues serían sumar esta y esta. 00:29:09
Esto es 0,0396 más 0,0192 y si hacemos la suma sería 0,0192 entre 0,0588 y esto nos da un resultado con ciclo de decimales pero redondeando a 4 decimales obtendríamos 0,3265. 00:29:29
A ver, aquí nos compensaba redondear siempre a 4 decimales porque ya el enunciado nos lo pide 00:30:01
O sea, si aquí tenemos un resultado exacto con 4 decimales, pues es lo lógico 00:30:06
Aparte de que si no, redondeando aquí nos hubiera dado 0 00:30:12
Con lo cual es lógico ya redondear siempre a 4 decimales 00:30:15
Bien, una observación es que también se había calculado este valor por otro medio 00:30:18
A ver, la probabilidad de dar positivo es 1 menos la probabilidad de dar negativo, que hemos calculado antes. Esto es 1 menos el 0,9412 y esto nos da el 0,50588 que hemos obtenido aquí. 00:30:24
Bien, ahora hagamos la C. ¿Qué nos piden? La probabilidad de que el test haya dado un resultado correcto. ¿Cuándo da correcto el test? Pues da correcto cuando, si la persona estaba enferma, era positivo, es decir, en este caso, en esta probabilidad, y también cuando, si la persona estaba sana, daba negativo. 00:30:44
Entonces, pues ya está 00:31:09
La probabilidad de que el test esté correcto 00:31:13
Sea directamente la suma de los dos números que hemos dicho 00:31:16
El de arriba y el de abajo 00:31:21
Esto es 0,0396 más 0,9408 00:31:22
Y esto nos da 0,9804 00:31:30
Podemos haber escrito 00:31:36
Podríamos haber escrito que es la probabilidad de estar enfermo y dar positivo más la probabilidad de estar sano y dar negativo. 00:31:38
Incluso, como habíamos escrito antes, probabilidad de estar enfermo y dar positivo, unión, estar sano y dar negativo, 00:31:49
y eso tiene que ser vacía porque, pues, si es enfermo y está sano, entonces, pues, no... 00:31:57
luego eso sería la suma 00:32:02
pero en este caso pues que es tan claro 00:32:04
se puede poner la suma directamente 00:32:06
bueno 00:32:08
ya hemos terminado 00:32:10
la primera solución que vamos a dar es un poco más mecánica 00:32:12
¿vale? 00:34:36
entonces 00:34:38
lo ideal sería conocer la probabilidad de ser niño o adulto 00:34:39
y con eso calcular lo demás, pero no es el caso 00:34:43
bueno pues lo hacemos con la x 00:34:44
la probabilidad de ser niño le ponemos x 00:34:46
y adulto pues 1 menos x 00:34:49
Y ya pues utilizamos los datos de probabilidad para calcular eso 00:34:50
¿Vale? 00:34:54
Vamos a ver 00:34:58
Entonces, primero con esta de aquí 00:34:58
Aquí que nos dicen 00:35:03
Nos dicen que la probabilidad 00:35:05
De que le guste la montaña y ser niño 00:35:07
Entre la probabilidad de ser niño 00:35:10
Es 0,25 00:35:12
Si sustituimos 00:35:14
Que tenemos 00:35:16
Que la probabilidad de que le guste la montaña 00:35:17
Y ser niño 00:35:20
Entre la de ser niño que hemos dicho que es X 00:35:21
Esto es 0,25 00:35:24
De ese modo, la probabilidad de que le guste la montaña y ser niño es 0,25x 00:35:26
Y este dato ya podemos ponerlo en la tabla 00:35:34
Aquí podemos poner 0,25x 00:35:36
¿Qué nos falta para tener x en la otra? 00:35:40
Pues tendríamos que esa es 00:35:43
A ver, x menos 0,25x es 0,75x 00:35:46
Aquí tendríamos el 0,75x 00:35:52
Y de hecho ya podemos tener incluso las dos esquinas que nos faltan 00:35:57
Porque con un solo dato ya podemos tener las demás 00:36:02
Por ejemplo, esto sería 0,7 menos el de arriba 00:36:05
0,7 menos 0,75x 00:36:10
Y este de aquí sería esta menos esta 00:36:16
Es decir, 0,3 menos 0,25X. 00:36:24
Bueno, sigamos. 00:36:33
Utilizando la segunda expresión, ¿qué tenemos? 00:36:36
Pues podemos utilizar la fórmula de la unión e intersección. 00:36:39
La probabilidad de P unión A es la probabilidad de P más la probabilidad de A menos la probabilidad de P intersección A. 00:36:42
Si sustituimos los datos, ¿qué tenemos? 00:36:52
Pues vamos a ver, la unión ya la tenemos, esto es 0,9, la prioridad de P es 0,7, la de A es 1 menos X y por último la que queremos saber es P interseccional. 00:36:53
Despejando esto, al otro lado que tenemos la probabilidad de P intersección A es igual a 0,7 más 1 menos X y pasando esto al otro lado es menos 0,9. 00:37:11
Operando 0,7 más 1 es 1,7 menos 0,9 nos da 0,8 y luego es menos X. 00:37:26
Con lo cual podríamos decir que la Y entre el seno adulto, que es este recuadro, esto es igual a 0,8 menos X. 00:37:34
Automáticamente tenemos ya una ecuación. 0,7 menos 0,75X es igual a 0,8 menos X. 00:37:49
Bueno, pues podemos pasar las X a un solo lado 00:38:03
X menos 0,75X es igual a 0,8 menos 0,7 00:38:06
0,25X es igual a 0,1 00:38:14
X es igual a 0,1 entre 0,25 00:38:18
Lo que nos da 0,4 00:38:22
Y si tenemos la X ya tenemos todo lo que está ahí 00:38:24
Toda la tabla 00:38:29
Voy a dibujar otra vez la tabla 00:38:30
Podría borrar aquí las X y escribirla encima 00:38:33
Pero bueno, mejor escribir otra vez la tabla 00:38:36
Y poner los valores que hemos obtenido 00:38:38
Niño, adulto, playa, montaña 00:38:40
Ya teníamos que esto era 0,7 00:38:53
0,3 y 1 00:38:57
Ponemos la verdadera X que es 0,4 00:39:00
Y 1 menos 0,4 que es 0,6 00:39:03
y lo demás podemos estudiando el x en todos los lados 00:39:07
pero bueno, con hacerlo en uno bastaría 00:39:10
el más sencillo puede ser este 00:39:11
a ver, eso es 0,25x 00:39:13
y esto es 0,25 por 0,4 00:39:17
que nos da 0,1 00:39:21
ponemos el dato 00:39:23
0,1 y ya con esto podemos completar la tabla 00:39:25
0,4 menos 0,1 es 0,3 00:39:28
0,3 menos 0,1 es 0,2 00:39:31
0,7 menos 0,3 es 0,4 00:39:35
Y ya tenemos la tabla completa 00:39:38
Vamos a responder las preguntas 00:39:39
Ahora A y B 00:39:42
Pregunta A 00:39:43
¿Qué porcentaje de los encuestados son niños? 00:39:45
Mira, esto es la X 00:39:48
Pues la probabilidad de ser niño 00:39:49
Es lo que tenemos aquí en la tabla 00:39:51
0,4 00:39:54
Si uno encuesta por el fin de la montaña 00:39:55
Condicionada 00:39:58
¿Cuál es la probabilidad de que sea niño? 00:39:59
O sea, de que sea niño sabiendo que le gusta la montaña 00:40:02
Pues sería la probabilidad de ser niño y que le guste la montaña entre la probabilidad de que le guste la montaña 00:40:04
Ahora sustituimos 00:40:10
La intersección de niño y montaña es 0,1 y la probabilidad de montaña es 0,3 00:40:12
Sería un tercio que redondeando sería 0,333 periodo 00:40:25
Por ejemplo, cuando cuatro decimales es 0,3333 y ya está 00:40:32
vale 00:40:36
o si queréis 0,3 periodo 00:40:38
que también es correcto 00:40:40
bueno, pues eso es una solución 00:40:41
veamos la siguiente 00:40:43
veamos una solución más original 00:40:45
a ver, en primer lugar 00:40:49
con la tabla ya tenemos 00:40:52
una visión espacial bastante buena 00:40:53
de los sucesos que son complementarios 00:40:55
uniones, etc. 00:40:57
por ejemplo, ¿qué nos hablan de la probabilidad 00:41:00
de que te guste la playa o sea adulto? 00:41:01
representándola sería esta especie de L 00:41:04
Entonces, esta especie de L tiene probabilidad 0,9, lo cual significa que lo que nos falta, que es este recuadro, es 1 menos 0,9, que es 0,1. 00:41:06
Esto en el fondo son las leyes de Morgan 00:41:22
Algebraicamente, ¿qué tendríamos? 00:41:26
Pues lo que tendríamos es que 00:41:29
A ver, la probabilidad de playa 00:41:30
Intersección 00:41:32
Adulto complementario 00:41:35
Sería la probabilidad 00:41:38
Porque esto es igual 00:41:39
El complementario de la unión 00:41:43
Esto es 1 menos la probabilidad de 00:41:45
P union A 00:41:47
Y eso sería 1 menos 0,9 00:41:49
Que es 0,1 00:41:51
Ahora bien 00:41:52
el complementario de playa que es montaña 00:41:53
y el complementario de adulto que es niño 00:41:56
entonces 00:41:58
estamos diciendo que esto es 0,1 00:42:00
automáticamente, que es lo que tenemos aquí 00:42:02
segunda cuestión que tenemos 00:42:04
pues con esto ya tenemos el 0,1 00:42:09
incluso ya podremos poner aquí 00:42:11
pues 00:42:12
un 0,2 00:42:15
porque es 0,3 menos 0,1 00:42:17
segundo dato 00:42:20
que tenemos 00:42:22
la probabilidad de que te gusta 00:42:22
montaña y ser niño entre la probabilidad de ser niño es 0,25. Pero sorpresa, hemos 00:42:26
calculado, ahora ya tenemos la probabilidad de que te gusta montaña y ser niño porque 00:42:34
está aquí. Entonces tendríamos que 0,1 entre la probabilidad de ser niño es el 0,25. 00:42:39
Y ya es otra ecuación. Pasamos esto multiplicando. 0,1 es igual a 0,25 por la probabilidad de 00:42:50
de ser niño y acabamos la ecuación pasando esto dividiendo. La probabilidad de ser niño 00:42:57
es el 0,1 entre 0,25 y esto nos da 0,4. Por lo tanto, la probabilidad de ser niño es 00:43:02
0,4. Si eso es 0,4, pues ya tenemos lo demás. 0,4 menos 1, 0,1 es 0,3. 1 menos 0,4 es 0,6. 00:43:18
0,6 en los 0,2 es 00:43:31
0,4 00:43:33
y ya tenemos todo 00:43:35
entonces ya, a ver 00:43:40
pregunta 00:43:42
probabilidad 00:43:42
de ser niño, ¿cuánto sería? 00:43:45
pues sería, lo he calculado ya 00:43:48
0,4 00:43:50
b, probabilidad 00:43:52
bueno 00:43:54
sabiendo que me gusta 00:43:56
la montaña 00:43:58
probabilidad que sea niño 00:43:59
Pues sería montaña entre sección niño 00:44:01
Entre la primera de montaña 00:44:06
Y eso sería 00:44:07
Pues vamos a ver 00:44:09
Montaña entre sección niño 00:44:15
Lo tenemos aquí 00:44:16
0,1 entre montaña 00:44:18
0,3, eso es un tercio 00:44:21
Eso es 0,3 periodo 00:44:23
O bien redondeando cuatro decimales 00:44:26
0,3333 00:44:28
Y ya está resuelto 00:44:29
Podéis parar la grabación, leer bien el enunciado y después escuchar la corrección. 00:44:32
Bueno, corregimos. 00:44:39
En un problema donde tenemos dos opciones, sacar un caramelo y luego otro, pues una buena representación es el diagrama de árbol. 00:44:41
Entonces podemos dibujarlo. 00:44:49
Tenemos primer caramelo de menta o de fresa y después un segundo caramelo de menta o de fresa. 00:44:52
Para distinguir la primera sacada de la segunda podemos poner, por ejemplo, un subíndice 1 para la primera sacada y un subíndice 2 para la segunda sacada. 00:45:00
Pero solamente es la notación que más me gusta. Además, podéis poner primero de menta, segundo de fresa, etc. 00:45:12
Pero me gusta más la de árbol, así que es la que voy a emplear en esta solución. 00:45:18
También podemos dibujar, sobre todo en esta cosa que es un poco más complicado, como sea la urna. 00:45:22
sea la urna. A ver, tendremos 16 caramelos de menta, 9 de fresa y nada, pues como tenemos 00:45:28
esta cosa exótica de sacar un caramelo y sustituirlo por otros dos, pues voy a poner 00:45:37
todas las posibilidades, ¿vale? Para explicarlo un poco mejor. A ver, si podemos quitar uno 00:45:42
de menta o quitar uno de fresa. En el primer caso nos quedarían 15 caramelos de menta 00:45:49
Y los 9 de fresa que había 00:45:56
Como ahora ponemos 2 del otro sabor 00:45:59
Pondríamos 2 de fresa 00:46:02
Entonces nos quedarían 15 de menta y 11 de fresa 00:46:05
En total serían 26 caramelos 00:46:09
Si quitamos 1 de fresa 00:46:12
Pues tendríamos 16 de menta que teníamos antes 00:46:16
Y 8 de fresa que nos quedan 00:46:20
Como ahora ponemos 2 del otro sabor 00:46:23
Subiríamos 2 de menta 00:46:25
Pondríamos 2 de menta 00:46:29
Entonces nos quedarían 18 de menta 00:46:30
Y 8 de fresa 00:46:32
En total 26 00:46:34
Bueno, me falta poner el resumo del principio 00:46:35
El total de caramelos que hay al principio 00:46:38
Era 16 más 9, que es 25 00:46:39
Y con eso tenemos toda la información 00:46:41
Que podemos poner en el árbol 00:46:43
Vamos a ver 00:46:45
Entonces, la probabilidad de que el primer caramelos sea de menta 00:46:47
Pues hay 16 de menta 00:46:50
Pues 16 entre 25 00:46:51
Probabilidad de que el primero sea de fresa 00:46:53
Pues 9, 20, 25 00:46:55
Ahora, sabiendo que el primero es de menta 00:46:57
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea de menta? 00:46:59
Pues ahora, ¿cuántos tenemos? 00:47:02
15 de 26 00:47:04
¿Y qué segundo es de fresa? 00:47:06
11 de 26 00:47:08
Sabiendo que el primero es de fresa 00:47:09
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea de menta? 00:47:13
Pues 18 de 26 00:47:16
¿Y qué segundo es de fresa? 00:47:18
8 de 26 00:47:22
Bueno, pues ya podemos poner las probabilidades, o sea, sería 16 partido por 25 por 15 partido por 26, aquí sería 16 partido por 25 por 11 partido por 26, aquí sería 9 partido por 25 por 18 entre 26, y aquí sería 9 partido por 25 por 8 entre 26. 00:47:23
Si ponemos las fracciones, serían 240 entre 650, ahora no voy a reducir, si al final, 176 entre 650, 162 entre 650 y 72 entre 650. 00:47:46
Si lo calculamos con decimales exactos, sería 0,3092, no sería exacto esta vez, así con la fracción, 0,2708, 0,2492 y 0,1108. 00:48:08
Y ya con esos datos podemos calcular la solución 00:48:36
A, B y C 00:48:41
Vamos a ver 00:48:44
Probabilidad de que el segundo caramelo sea de fresa 00:48:44
Vamos a ver 00:48:49
Probabilidad de que el segundo sea de fresa 00:48:50
¿Cuál es? 00:48:53
Pues vamos a verlo en el árbol 00:48:56
De que el segundo de fresa tenemos aquí 00:49:00
Esos dos sucesos 00:49:02
Pues sería la suma 00:49:04
A ver si lo hacemos con fracciones 00:49:06
Sería 240 entre 650 más 00:49:08
Perdón, me he confundido 00:49:15
Es el segundo 00:49:18
176 entre 650 más 72 entre 650 00:49:21
Y eso nos da 248 entre 650 00:49:27
Y ahora sí que significamos 00:49:36
Y sería 124 entre 325 00:49:39
Si lo calculamos, pues la solución sería 0,3815 00:49:43
También se puede hacer la suma 00:49:54
Sería esto más esto 00:50:00
0,2708 más 0,1108 00:50:02
Que en este caso, si lo sumamos, nos daría 0,3816 00:50:07
La diferencia es que este 1,6 es el error de redondeo. Sin error de redondeo sería, acabaría en 5. Es un error de redondeo. 00:50:14
Bien. Vamos a calcular ahora el apartado B. Nos dicen la probabilidad que el primer caramelo, sí, el primer caramelo, calcula la probabilidad que el primer caramelo sea de menta, sabiendo que el segundo es de fresa, una condicionada. 00:50:27
Aplicamos la definición 00:50:44
Probabilidad de que el primer caramelo 00:50:46
Se alimente a intersección 00:50:48
El segundo de fresa 00:50:50
Entre la probabilidad de que el segundo 00:50:51
Sea de fresa 00:50:53
Aquí no hay simetría 00:50:55
Porque habría simetría 00:50:56
Si yo cogiera un caramelo y no hiciera más 00:50:59
Entonces podría haber simetría 00:51:01
Entre primera vez que cogemos 00:51:04
Y segunda vez que cogemos 00:51:06
Pero como no 00:51:07
Cogemos 00:51:09
Como hacemos este cambio de caramelos 00:51:11
La simetría desaparece 00:51:15
Entonces ya no hay más remedio que hacerlo así 00:51:16
Bien, entonces ¿Cuánto nos da? 00:51:18
Vamos a verlo 00:51:21
A ver, primero de menta 00:51:22
Y segundo de fresa 00:51:30
Sería este suceso 00:51:33
Con lo cual 00:51:35
Podríamos poner 00:51:38
La probabilidad 00:51:41
Igual que antes, vamos a hacerlo con dos formas de hacerlo 00:51:42
Con fracciones 00:51:46
y del otro modo vamos a seguir por acá 00:51:46
con fracciones sería 176 entre 650 00:51:51
y lo dividimos por la probabilidad de que el segundo sea de fresa 00:51:58
que ya hemos calculado antes 00:52:02
voy a hacerlo sin reducir 00:52:03
248 entre 650 00:52:06
porque ahora esto es igual a 176 entre 248 00:52:09
Que reduciendo es igual a 22 partido por 31 00:52:14
Si lo calculamos da 0,7097 00:52:19
Y si lo hubiéramos calculado utilizando solamente los valores decimales 00:52:26
¿Qué nos daría? Vamos a ver 00:52:33
Pues tendríamos este valor numérico que tenemos aquí 00:52:35
Que sería el 0,2708 00:52:39
entre el valor que hemos puesto antes, fijaos que hay un pequeño error de redondeo 00:52:45
0,3816 00:52:50
si hacemos esta división y redondeamos tendríamos 0,7096 00:52:54
nuevamente hay un error de redondeo porque este es un error que se acumula 00:52:59
mientras que este es exacto ya que hemos mantenido la fracción hasta el final 00:53:04
bueno, no pasa nada, es un error pequeño, por eso tenemos tantos decimales 00:53:06
Vamos a ver el C 00:53:13
La probabilidad de que el segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero 00:53:17
Bueno, pues el C que sería 00:53:21
Tomar primero menta y luego menta 00:53:24
Y fresa y luego fresa 00:53:32
La probabilidad del mismo sabor 00:53:34
Sería la probabilidad de tener 00:53:42
Menta 1, intersección menta 2 00:53:46
más la probabilidad de tener 00:53:50
fresa 1 00:53:53
intersección fresa 2 00:53:54
es la suma porque son sucesos 00:53:56
disjuntos, quiere decir 00:53:58
no se dan a la vez 00:54:00
nuevamente lo podemos hacer tanto con fracciones 00:54:02
como 00:54:05
con los valores numéricos, podemos hacer los dos 00:54:06
con fracciones que sería 00:54:09
sumar, hemos dicho que son 00:54:10
estos dos 00:54:13
y estos dos, de modo que serían 00:54:16
estos valores 00:54:18
y estos valores, pues vamos a ponerlo 00:54:20
240 partido por 650 00:54:24
más 72 entre 650 00:54:28
y esto nos da 00:54:32
312 entre 650 00:54:35
que se nos dice 12 partido por 25 00:54:39
y si lo calculamos nos da 0,48 00:54:42
Si lo hacemos numéricamente, pues tendríamos el 0,3692 más el 0,1108 00:54:47
Y esta vez también nos da de forma exacta 0,48 00:55:01
No hay errores de redondeo 00:55:06
Y ya lo tenemos resuelto 00:55:07
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
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12
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 12:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Corrección Examen 2 - 1a evaluación
Duración:
55′ 18″
Relación de aspecto:
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Resolución:
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Tamaño:
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