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Ecuación Matricial - Contenido educativo

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Subido el 8 de diciembre de 2024 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver un ejemplo de sistemas de ecuaciones matriciales. 00:00:00
A ver, me dan la matriz X, que no conozco los elementos, ¿no? 00:00:04
Y queremos calcular todas las matrices X de esa forma, A, 0, B, C, con A, B y C números reales, 00:00:08
tales que verifiquen la ecuación matricial X cuadrado igual a 2X. 00:00:14
Eso es lo que me están pidiendo, ¿vale? 00:00:18
Entonces, lo primero que vamos a hacer para calcular, para comprobar todas las matrices X 00:00:20
que verifican esta ecuación, lo primero que vamos a hacer es calcular tanto x cuadrado como 2x. 00:00:26
Se podría hacer todo de una vez, pero bueno, vamos a ir viendo. 00:00:34
x cuadrado es x por x, esto es a, b, 0, c, por la matriz a, b, 0, c. 00:00:37
Ya sabéis, es una matriz 2x2, se puede multiplicar y el resultado es otra matriz 2x2 00:00:51
Primera fila por primera columna, a por a es a cuadrado, más 0 por b es 0 00:00:56
Primera fila, segunda columna, a por 0 es 0, 0 por c es 0 00:01:02
Me voy a la segunda fila, b por a es b por a 00:01:08
Más c por b 00:01:16
tenía que haber dejado el 0 un poquito más a la derecha 00:01:17
y segunda fila por tercera columna es b por 0 00:01:22
es 0 y c por c, c cuadrado 00:01:26
vale, pues esta es mi x cuadrado 00:01:28
¿quién es la matriz 2x? 00:01:33
esto lo deberíamos hacer de cabeza 00:01:35
la matriz 2x es multiplicar por 2 00:01:36
a la matriz x que es a, b, 0, c 00:01:40
es decir, un número que multiplica una matriz 00:01:45
es multiplicar todos los elementos 00:01:48
por ese número, luego es 2a, 0, 2b, 2c. 00:01:49
Y ahora ya escribimos, nosotros queremos nuestra matriz, 00:01:57
nuestra ecuación matricial, perdón, 00:01:59
es que x cuadrado sea igual a 2x, 00:02:01
es decir, queremos esa igualdad, pues igualamos las dos matrices. 00:02:04
Lo que queremos es que la matriz a cuadrado, 00:02:07
b a más c b, 0, c cuadrado, 00:02:11
Queremos que esta matriz, que es la matriz X cuadrado, sea igual a la matriz 2X, que es 2A, 2B, 0, 2C 00:02:17
¿Vale? Para que dos matrices sean iguales, tienen que ser iguales elemento a elemento 00:02:31
¿Vale? Es decir, el primer elemento, es decir, este A cuadrado, tiene que ser igual al 2A 00:02:37
a cuadrado tiene que ser igual a 2a 00:02:45
el segundo, el elemento 2,2 es exactamente el mismo 00:02:49
0,0, no pongo la ecuación 00:02:54
el elemento 2,1 de las dos matrices tienen que ser iguales 00:02:55
es decir, b por a más c por b 00:03:00
tiene que ser igual a 2b 00:03:06
y el elemento 2,2 de ambas matrices tiene que ser igual 00:03:09
es decir, c cuadrado tiene que ser igual a 2c. 00:03:14
¿Vale? Pues estas son las matrices que nosotros tenemos que resolver. 00:03:18
Bien, pues a ver, la primera ecuación solo tiene a, por lo tanto lo paso al primer miembro, 00:03:23
menos 2a igual 0, sacamos factor común y me queda que esto es a por a menos 2 igual a 0 00:03:30
y de aquí obtengo dos posibles soluciones. 00:03:41
O bien a es 0, o bien a menos 2 es 0, es decir, que a es igual 2. 00:03:44
Si os dais cuenta, la última ecuación es exactamente la primera pero con c. 00:03:51
C sería igual c cuadrado menos 2c igual 0, es decir, c por, sacando factor común, c menos 2 es igual a 0. 00:03:59
por lo tanto me queda que o bien C es 0 o bien C es 2. 00:04:12
Y ahora tenemos que calcular los valores con la segunda ecuación, el valor de la B. 00:04:19
Y vemos que tenemos, lo que acabamos de decir, que tenemos diferentes posibilidades. 00:04:28
Entonces, a ver, lo voy a ir subiendo, porque ahora tenemos que ir estudiando 00:04:32
cada uno de los casos para poder calcular el valor de la B. 00:04:37
Primer caso que podemos tener, que la a sea 0 y que también la c sea 0, ¿vale? 00:04:41
Es decir, estoy cogiendo los dos primeros, si a es 0 y b es 0, ¿qué le ocurre a la ecuación? 00:04:51
b por a más c por b igual 2b, ¿qué me queda aquí? 00:04:56
Si la A es 0, esto es 0, esto es 0 y ¿qué me queda aquí? Que 0 es igual a 2B, por lo tanto B es 0. 00:05:04
En este caso, la matriz que estoy buscando X sería de la forma 0, 0, 0, 0. Sería la matriz nula. 00:05:19
siguiente opción 00:05:29
que la A sea 0 00:05:32
pero que la C 00:05:33
sea 2 00:05:36
vale, pues volvemos a hacer lo mismo 00:05:38
para calcular el valor de B 00:05:40
me quedaría B por A 00:05:41
más C por B 00:05:43
igual a 2B 00:05:47
que me queda aquí 00:05:49
esto es 0 00:05:51
y aquí ahora la C es 2 00:05:52
luego que me queda 00:05:54
que 2B es igual a 2B 00:05:56
que cosa que sabemos que es cierta, por lo tanto eso significa que B puede ser cualquier valor. 00:06:00
Por lo tanto la matriz X que yo busco, ¿cuál va a ser? 00:06:05
A hemos visto que es 0, el segundo elemento era el 0, B puede ser cualquier cosa, 00:06:10
le seguimos llamando B, y la C tiene que ser 2. 00:06:15
Esto sería para cualquier número B perteneciente a los reales. 00:06:18
Siguiente caso que tenemos, pues ya hemos visto todas las posibilidades con a igual 0 00:06:24
Ahora tenemos que probar con a igual 2 00:06:29
a igual 2 y c igual 0 00:06:31
Bueno, pues igual que antes, b por a más c por b igual a 2b 00:06:34
Vale, ahora la a vale 2 y la c 0 00:06:43
¿Qué obtengo aquí? Pues obtenemos 2b igual a 2b, es decir que estamos en el mismo caso de antes, la b puede valer cualquier cosa y me queda la a ahora vale 2, aquí sigue siendo 0, la b puede ser cualquier cosa y ahora la c vale 0, ¿vale? 00:06:49
Luego obtenemos esa matriz, otra vez con b, cualquier número real. 00:07:12
Y a ver, vamos a subir un poquito más. 00:07:18
Y ahora el último caso que me queda es cuando la a vale 2 y la c vale 2. 00:07:23
Esto igual que antes, b por a más c por b igual a 2b. 00:07:35
la A vale 2 00:07:41
la C vale 2 00:07:44
y aquí que me queda 00:07:46
más 2B 00:07:49
es igual a 2B 00:07:52
o lo que es lo mismo 00:07:55
para que 4B sea igual a 2B 00:07:56
¿cuál es la única posibilidad? 00:07:59
pues que la B sea 0 00:08:02
¿vale? porque es imposible 00:08:03
si tacháramos la B 00:08:06
o sea no la podríamos tachar de esta manera 00:08:08
porque 4 no es lo mismo que 2, ¿vale? 00:08:10
Por lo tanto, la matriz X que me queda en este caso es A2, este elemento era 0, B0 y C2. 00:08:12
Pues estas son todas las posibles matrices X que verificaban lo que nos estaba pidiendo el ejercicio, 00:08:23
que a partir de esta matriz, X cuadrado fuera igual a 2X. 00:08:31
Aquí siempre tenemos que ir pasando de ecuaciones matriciales a una ecuación numérica, podríamos decir, y sacamos las cuatro posibilidades. 00:08:35
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
11
Fecha:
8 de diciembre de 2024 - 15:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
08′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
24.67 MBytes

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