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Representación de funciones - Contenido educativo

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Subido el 3 de marzo de 2026 por Roberto A.

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Continuamos hoy, hoy es 3 de marzo del 26, entonces continuamos, el apartado A era el dominio y ahora estábamos con las asíntotas, ¿verdad? 00:00:01
Entonces, las asíntotas horizontales, chavales, siempre es igual, las asíntotas horizontales tenemos que hacer los límites en más menos infinito 00:00:19
Y aquí observamos que nos sale cero, ¿de acuerdo? Entonces, la posición, chavales, yo tengo que restar a mi función la asíntota horizontal, que es el cero, ¿de acuerdo? 00:00:28
Entonces, aquí lo que yo quiero que os veáis 00:00:44
es que como la asíntota es algo a lo que tú te aproximas, 00:00:46
pero no toca, el límite siempre me va a salir cero. 00:00:48
Y lo que a mí me interesa saber es si ese límite 00:00:52
es un cero positivo o un cero negativo únicamente, ¿vale? 00:00:55
Entonces, ¿qué ocurre? 00:00:59
Pues que aquí, al hacer el límite 00:01:01
cuando x tiende a más infinito, 00:01:06
de f de x menos la asíntota horizontal, 00:01:08
que la asíntota horizontal era un cero, 00:01:10
en el más infinito, pues entonces me vuelve a salir lo mismo. 00:01:13
¿Qué ocurre? 00:01:16
Aquí yo tengo 4 menos infinito, que es negativo. 00:01:17
Tíname el chicle, guía. 00:01:21
Entonces, 1 partido de menos infinito es 0, 00:01:22
pero es un 0 negativo. 00:01:27
¿De acuerdo? 00:01:29
Por lo tanto, ¿esto qué significa? 00:01:30
Que la función f de x está por debajo de 0. 00:01:32
Por debajo de la asíntota, ¿vale? 00:01:40
De la asíntota horizontal. 00:01:42
de la asíntota horizontal en x igual a más infinito, ¿de acuerdo? 00:01:44
Por lo tanto, si recordábamos de ayer, yo tachaba esto de aquí 00:01:53
y entonces yo voy a hacer que mi función se va a aproximar a cero 00:01:57
en el más infinito, pero por debajo, ¿vale? 00:02:01
Y entonces, chavales, aquí, fijaros, yo tengo que poner la asíntota 00:02:06
en el más infinito. Digo porque aquí han coincidido cero ambas. Pero si aquí fuese un 1 y en el menos infinito un menos 1, 00:02:11
yo aquí pondría un 1 y en el menos infinito pondría un menos 1. ¿Entendéis lo que estoy diciendo o no? 00:02:20
Y aquí igual, bueno, pues el límite cuando x tiende a menos infinito de f de x menos la asíntota horizontal, 00:02:26
voy a poner aquí en el más infinito y aquí en el menos infinito, ¿vale? Es igual al límite cuando x tiende a menos infinito 00:02:33
de 1 partido 4 menos x cuadrado menos 0. 00:02:41
Esta es la asíntota en el menos infinito, ¿vale, chavales? 00:02:44
Por lo tanto, esto es el límite cuando x tiende a menos infinito 00:02:48
de 1 partido 4 menos x cuadrado. 00:02:53
Esto es igual al límite de 1 partido 4 menos x cuadrado 00:02:56
cuando x tiende a más infinito, 00:03:00
porque hago lo de que el menos infinito es igual al límite 00:03:03
en el más infinito de f de menos x. 00:03:07
Y como la x está al cuadrado, se me queda exactamente igual. 00:03:09
¿Vale, chavales? 00:03:14
¿Sí, María? 00:03:15
Entonces esto igual, esto me queda menor que cero. 00:03:17
Pues esto qué significa. 00:03:20
Que f de x está por debajo de la asíntota horizontal en x igual a menos infinito. 00:03:21
Por lo tanto es lo que ayer estábamos aquí 00:03:42
Y yo sabía que se aproxima por aquí 00:03:44
Dime 00:03:47
Para este lado de aquí 00:03:48
Yo creo que porque 00:03:58
A ver, eso no lo he hecho yo, ¿vale? 00:04:02
Pero me imagino que es porque 00:04:05
Me imagino, por buscar una explicación 00:04:06
Porque yo creo que es más fácil poner la flecha 00:04:09
Así que darle la vuelta 00:04:10
Yo creo que por el tipo de flecha. 00:04:12
Sí, de hecho, aquí tiene toda la pinta que sea así. 00:04:15
Aquí lo suyo es que sea así. 00:04:19
Entonces, de horizontales, chavales, sabemos que es 0 en más infinito en menos infinito 00:04:20
y que la función no viene por aquí arriba, sino que viene por abajo. 00:04:25
¿De acuerdo? ¿Lo veis? Viene por abajo. 00:04:29
¿De acuerdo? 00:04:31
Ahora vamos a ir a las asíntotas verticales. 00:04:32
Las asíntotas verticales. 00:04:38
Entonces, recordadme el dominio de esta función. ¿El dominio era todo R menos el 2 y el menos 2? Vale. Entonces, era todos los reales menos el menos 2 y el 2. 00:04:40
Entonces, ¿qué tengo que hacer, chavales? Pues en x igual a menos 2. Tengo que hacer el límite de f de x cuando x tiende a menos 2, es decir, el límite de 1 partido 4 menos x cuadrado cuando x tiende a menos 2 y esto da 1 partido de 0. 00:04:54
Por lo tanto, ¿qué ocurre? Que tengo que hacer los límites laterales. 00:05:16
¿Todo el mundo tiene esto bien interiorizado, Marco? 00:05:23
¿Sabes por qué hay que hacer los límites laterales, no? 00:05:27
Entonces, tengo el límite de f de x cuando x tiende a menos 2 a la izquierda. 00:05:29
Es decir, el límite de 1 partido de 4 menos x al cuadrado cuando x tiende a menos 2 a la izquierda. 00:05:35
Y aquí, chavales, yo siempre hago lo mismo, ¿vale? 00:05:43
Quizás un poco exagerado, un poco exagerado. 00:05:45
Entonces, yo lo que os recomiendo es que, yo sé que aquí está el 0, aquí está el menos infinito, aquí está el más infinito, aquí está el 2 y aquí está el menos 2. 00:05:48
Entonces, yo aquí, si me voy a la, yo esto sé, ¿vale? Que esto va a ser 1 partido de 0. 00:06:01
Yo ya lo sé, ¿de acuerdo? 00:06:09
Lo que yo tengo que buscar es que si ese 0 es o positivo o negativo, ¿vale? 00:06:11
Porque me va a dar más infinito o menos infinito, me va a salir una asíntota horizontal, ¿vale? 00:06:16
Recordar que hay unos apuntes que ya, estos de las asíntotas, y también lo vimos en la continuidad, 00:06:22
que cuando me anulan el denominador, pero no me anulan el numerador, ¿de acuerdo? 00:06:32
Es una asíntota vertical. 00:06:37
Otra cosa es que ahora luego vamos a hacer un ejercicio. Cuando nosotros hallemos el dominio, ¿vale? Y evidentemente cuando tenemos una racional, nosotros vamos a igualar a 0 el denominador, vamos a obtener unos puntos en los cuales me anula el denominador. 00:06:39
Y lo que tenemos que hacer, aquí yo no lo hice porque el numerador es un 1, ver si hay algún valor que me anula también el numerador. ¿Por qué? Porque nos va a hacer mucho más fácil porque nos podemos quitar cosas. 00:06:54
Y aunque para el dominio sí que tenemos que trabajar con la función completa, luego el resto de cosas la podemos hacer con una función muchísimo más asequible y más funcional. 00:07:10
Eso lo vamos a ver en el siguiente ejercicio, ¿vale? A lo mejor nos hacéis una composición de lugar, pero no es complicado. 00:07:24
Entonces, yo aquí yo sé que es uno partido de 100. 00:07:30
Y es lo que yo quiero ver si el tercero es positivo o el negativo, ¿vale? 00:07:33
Entonces, en este caso, como tengo el menos 2 y el 2, 00:07:36
pues aquí lo suyo es irme al menos 2,1, ¿vale? 00:07:40
Es irme al menos 2,1, que es el que está a la izquierda. 00:07:43
Yo realmente me suelo ir al menos 3, no por nada, 00:07:48
sino por no utilizar números decimales y lo hago de cabeza, 00:07:50
pero tenéis la calculadora y lo hacéis. 00:07:55
¿Cuándo no me iría al menos 3? 00:07:57
Cuando, por ejemplo, el menos 3 también sea un valor crítico, ¿vale? 00:07:59
Imaginaros que yo tengo aquí el menos 2 y aquí tengo el menos 3, 00:08:03
No puedo poner aquí el menos 3, pero si veis que yo aquí no tengo ningún punto crítico a la izquierda del menos 2, 00:08:06
pues yo me voy al menos 3 únicamente porque sé que menos 3 al cuadrado es 9, ¿verdad? 00:08:15
4 menos 9 es menos 5, por lo tanto, esto es un 0 negativo. 00:08:20
¿Entendéis lo que he hecho? Y si no, lo que hago me voy aquí al menos 2,1. 00:08:25
El menos 2,1 al cuadrado es mayor que 4. 4 menos un número mayor que 4 me va a salir negativo. 00:08:29
¿Vale? ¿Sí? Y entonces aquí, que creo que claro era lo que a ti te pasó ayer, puede ser justo aquí, ¿no? Y entonces esto es menos infinito, ¿vale? Entonces, chavales, con f de x cuando x tiende a menos 2 a la derecha es igual al límite de 1 partido 4 menos x cuadrado cuando x tiende menos 2 a la derecha igual. 00:08:36
esto yo sé que va a ser 1 partido de 0 00:09:02
¿vale? pero para mí 00:09:04
para ver el signo de aquí 00:09:06
yo lo que hago me voy al menos 1 00:09:08
o me puedo ir al menos 1,9 00:09:11
pero para mí es más fácil 00:09:13
trabajar con el menos 1 00:09:14
¿por qué? porque menos 1 al cuadrado ¿cuánto es? 00:09:16
1, 4 menos 1 00:09:19
y lo que me interesa realmente es el signo 00:09:22
aquí hay gente que luego 00:09:24
se le va a la olla 00:09:26
y me pone aquí un 3 00:09:28
no, no, no, esto es un 0 ¿vale? 00:09:29
porque yo tiendo a menos 2 positivo. 00:09:31
Esto realmente es menos 1,9999. 00:09:35
Nos morimos todos, hay 800.000 generaciones 00:09:38
y sigue escribiendo en 9. 00:09:41
Lo que pasa es que yo, para exagerar y para facilitarme el cálculo, 00:09:43
me voy al menos 1 porque a mí lo que me interesa únicamente 00:09:46
es ver si eso es positivo o es negativo, ¿vale? 00:09:49
Entonces, yo me voy aquí, que es un 0 positivo 00:09:52
y esto es más infinito. 00:09:56
¿Qué ocurre? Pues que aquí hay una discontinuidad de salto infinito, ¿verdad? 00:09:58
Discontinuidad de salto infinito en x igual a menos 2 hay una asíntota vertical, ¿lo ves? 00:10:01
Asíntota vertical, ah, ahí sí, coño, av, perdona, av en x igual a menos 2, ¿vale? 00:10:18
Y ahora vamos a ver, si yo me fuese aquí a representar, chavales, ¿qué ocurre? 00:10:27
Bueno, lo voy a hacer de nuevo, ¿vale? Luego. 00:10:32
Me voy a ir ahora al x igual a 2, ¿vale? 00:10:35
x igual a 2. 00:10:39
Hago lo mismo. 00:10:40
Dime, dime, dime. 00:10:43
No, no, que me digo nada más. 00:10:44
Vale. 00:10:45
En el 2, perdonad. 00:10:46
Y aquí hago lo mismo que antes y descubro, pues evidentemente, 00:10:48
que esto me sale 1 partido de 0 también, ¿vale? 00:10:53
Cuando x tiene 2. 00:10:57
Lo que implica que tengo que hacer los límites laterales, ¿vale? 00:10:58
Entonces hago el límite de f de x cuando x, límites laterales. 00:11:01
Límite de f de x cuando x tiende 2 a la izquierda es igual al límite de 1 partido. 00:11:12
Fijaros que siempre pongo la palabra límite, es un tostón, ¿vale? 00:11:19
Pero la tenemos que poner siempre, ¿vale? 00:11:23
Igual, yo sé que esto es 1 partido de 0, ¿vale, chavales? 00:11:25
Entonces, el 2 por la izquierda, ¿a cuál número me iría? 00:11:29
Yo me iría al 1, ¿vale? 00:11:34
Inclusiva al 0, pero bueno, yo me iría al 1. 00:11:36
Y vuelvo a lo mismo. 00:11:39
1 al cuadrado es 1. 00:11:41
4 menos 1 es 3. 00:11:43
Es positivo. 00:11:44
Entonces, es un 0 positivo. 00:11:45
Esto que implica que esto es más infinito. 00:11:47
Y el límite de f de x, cuando x tiende a 2 por la derecha, 00:11:51
es igual al límite de 1 partido 4 menos x al cuadrado 00:11:56
cuando x tiende a 2 a la derecha 00:12:01
también sé que es 1 partido de 0, ¿de acuerdo? 00:12:03
pero yo ahora me voy al 3, ¿vale? 00:12:07
entonces 3 al cuadrado, 9 00:12:09
4 menos 9, menos 5 00:12:11
entonces esto es negativo 00:12:13
y esto es menos infinito 00:12:15
pues igual, hay una discontinuidad 00:12:17
de salto infinito 00:12:20
en x igual a 2 00:12:29
Existe 00:12:33
Asíntota 00:12:36
Vertical en X igual a 2 00:12:38
¿Y cómo se refleja esto? 00:12:41
Chavales, ¿puedo pasar 00:12:43
De página? 00:12:45
Vamos a recopilar un poquito 00:12:46
Toda la información que tenemos 00:12:49
No sé si la tenéis ahí delante, me ayudaría 00:12:50
No lo hago yo 00:12:52
Si yo voy 00:12:53
Lo suyo es tener como un sitio 00:12:54
Aparte, representando 00:12:58
Esto, ¿vale? 00:13:00
Fijaros 00:13:02
En el más infinito 00:13:02
Sabemos que es por aquí 00:13:06
¿Verdad chavales? 00:13:08
En el más infinito sabemos que es por aquí 00:13:09
El asíntota horizontal es a cero 00:13:12
Y está por debajo 00:13:14
En el menos infinito igual 00:13:15
El asíntota horizontal es a cero 00:13:17
Y estaba por debajo 00:13:19
Luego en el dos 00:13:21
En el dos 00:13:22
No veo poco 00:13:26
Si el dos es esto 00:13:28
Y el menos dos 00:13:31
recordármelo un poco, seguramente viendo la forma 00:13:32
el límite del menos 2 a la izquierda 00:13:41
a que era menos infinito 00:13:45
y en el menos 2 a la derecha a que era más infinito 00:13:46
sí, lo pongo así, ¿de acuerdo? 00:13:51
en el 2 a la izquierda a que era más infinito 00:13:54
y en el 2 a la derecha a que era menos infinito 00:13:57
¿lo veis? 00:14:02
y luego si no recuerdo mal 00:14:04
aquí en el cero un cuarto, ¿no? 00:14:06
Podría haber un punto de corte, ¿no? 00:14:07
Cero un cuarto. 00:14:10
¿Vale, chavales? 00:14:13
Entonces, fijaros, fijaros, 00:14:13
que lo más probable es que mi función haga así, 00:14:17
haga así y haga así. 00:14:23
Tened en cuenta que también era par, ¿vale? 00:14:26
Que es decir, es simétrica respecto a esto de aquí, ¿vale? 00:14:29
Entonces, tiene toda la pinta de que haga esto de aquí 00:14:33
porque el mismo comportamiento que tenga este 00:14:35
lo voy a tener aquí 00:14:38
y el mismo comportamiento que tengo aquí 00:14:39
lo voy a tener en este lado 00:14:42
por su paridad, era una función par 00:14:43
¿vale? pero yo ahora mismo lo que yo sé 00:14:46
es que aquí me aproximo pero por debajo 00:14:48
aquí en menos infinito, más infinito, más infinito, menos infinito 00:14:50
tiende a cero pero por debajo 00:14:54
y luego tiene ese punto de coma 00:14:57
entonces ¿qué ocurre? 00:14:59
¿qué ocurre? 00:15:01
¿Tiene asíntotas oblicuas? No, ¿vale? Eso lo especificamos, ¿vale? Lo especificamos. Oblicuas, asíntotas oblicuas, asíntotas oblicuas y ponemos una frase, ¿vale? 00:15:01
No tiene al haber asíntotas horizontales, ¿vale? 00:15:21
Y con esa frase hemos terminado el apartado 1, que era un punto, 00:15:33
que era el dominio de las asíntotas, ¿vale? 00:15:39
El punto, si volvemos al enunciado, era indicar el dominio de la definición de f de g 00:15:41
y hallar sus asíntotas, ¿vale? 00:15:48
Sí, ese es un punto. 00:15:51
Ahora dice, hallar los extremos relativos de las funciones f y sus intervalos de concavidad y convexidad. 00:15:52
Cuando nos dicen extremos relativos, son los máximos y los mínimos. 00:15:58
Entonces, ¿qué ocurre? 00:16:03
Que nos tenemos que ir a la primera derivada. 00:16:04
¿De acuerdo? 00:16:08
Estamos ahora en el apartado b, extremos relativos. 00:16:09
¿Estamos de acuerdo o no? 00:16:15
Entonces, si f de x es 1 partido de 4 menos x al cuadrado, 00:16:17
¿Cuánto vale la primera derivada? 00:16:24
Pues la primera derivada es 00:16:27
menos 1 por 4 menos x al cuadrado menos 2, ¿verdad? 00:16:29
Por menos 2x. 00:16:39
Que esto me quedaría, corregidme si me equivoco, 00:16:41
me quedaría 4 menos x al cuadrado al cuadrado. 00:16:44
¿Os sale esto, chavales? 00:16:48
Sí, ¿verdad? 00:16:50
Sí. 00:16:52
¿Qué es lo que he hecho? 00:16:52
Aquí se puede hacer de dos formas, chavales. 00:16:53
Como es una fracción, en la derivada del primero, ¿cuánto es la derivada del primero? 00:16:55
0, ¿vale? 00:17:01
Por la segunda sin derivar, que es 0. 00:17:02
Menos la primera sin derivar, que es un 1, por la derivada del segundo, que es menos 2x. 00:17:05
Y abajo pongo 4 menos x al cuadrado, al cuadrado. 00:17:12
Esto es un menos. 00:17:18
y esto al final me sale lo mismo, ¿vale, chavales? 00:17:19
¿Y qué es lo que he hecho? 00:17:27
Esto lo he puesto, lo voy a poner aquí en verde, 00:17:28
como 4 menos x al cuadrado elevado a menos 1, ¿vale? 00:17:31
Y entonces, ¿cómo lo he derivado? 00:17:35
El menos 1 pasa aquí, es 4 menos x al cuadrado menos 1 menos 1 es menos 2 00:17:37
y luego la derivada de lo de dentro que es menos 2x. 00:17:43
Este menos y este menos me sale más 00:17:46
Y esto de aquí, chavales, recordad que a elevado a menos b es igual a 1 partido de a elevado a b, ¿vale? 00:17:48
Es esto de aquí. 00:17:57
Pero sale lo mismo, lo importante es que salga lo mismo. 00:17:59
¿Lo entendéis, verdad? 00:18:02
¿Verdad que ocurre? Yo tengo que hacer que f' de x sea igual a 0, ¿vale? 00:18:03
¿Qué ocurre? Que 2x partido 4 menos x al cuadrado, al cuadrado igual a 0, implica que 2x es igual a 0, x es igual a 0. 00:18:08
En x igual a 0, que fijaros en x igual a 0, era el punto de corte con el eje de las y, el 1 cuarto. 00:18:22
Y ya aquí nos hacemos una idea de que lo que vamos a obtener es un mínimo. 00:18:31
¿Lo veis? Aquí vamos a obtener un mínimo. ¿Qué ocurre? Pues que yo aquí lo suyo para saber si es un mínimo o un máximo, o hago la segunda derivada, que yo no os la recomiendo, o vamos a ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento, que son mucho más fáciles, ¿vale? 00:18:36
Entonces, chavales, súper importante. La primera derivada, la primera derivada, geométricamente, ¿qué significaba? Porque esto siempre lo pregunto, pero es súper importante que lo sepáis. ¿Qué significa geométricamente la primera derivada? La pendiente de la recta tangente. 00:18:56
Entonces, el signo, el signo de la primera derivada, lo que me dice es el signo de la pendiente, ¿de acuerdo? El signo de la pendiente. Entonces, si la pendiente es positiva, significa que, si la pendiente de la recta tangente es positiva, significa que mi función es creciente. 00:19:16
Y si el signo de la recta tangente es negativa, significa que mi función es decreciente. 00:19:38
¿Vale, chavales? 00:19:44
Entonces, ¿qué ocurre? 00:19:45
Que yo aquí, para el crecimiento, y esto es importante, chavales, para el crecimiento y decrecimiento, 00:19:47
yo aquí no solo tengo que tener en cuenta el x igual a 0, 00:19:53
sino que también tengo que tener en cuenta los puntos que no pertenecen al dominio, ¿vale? 00:19:58
Eso es súper importante. 00:20:03
Yo aquí tengo, según esto, yo aquí tendría tan solo dos intervalos, ¿verdad? Desde menos infinito a cero y de cero a más infinito. 00:20:04
Yo tengo que tener en cuenta los puntos que, lo voy a poner aquí, hay que tener en cuenta en el crecimiento, en la monotonía, ¿vale? 00:20:13
¿Sabéis lo que es la monotonía, no? 00:20:30
Que es la curvatura, los puntos que no pertenecen al dominio. 00:20:38
¿Vale, chavales? 00:20:49
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:20:50
Yo aquí, ¿cuántos intervalos tengo? 00:20:52
Tengo desde menos infinito a menos 2, desde menos 2 a 0, de 0 a 2 y de 2 a más infinito. 00:20:54
Lo único, chavales, vais a ver que esto era par, ¿verdad? Esto era par. 00:21:06
Entonces, ¿qué ocurre con la paridad? 00:21:13
Que si este es creciente, ¿cómo creéis que va a ser este? 00:21:17
decreciente 00:21:20
y si este es decreciente 00:21:22
¿cómo va a ser el otro? 00:21:24
creciente, ¿vale? con la paridad, pero bueno 00:21:26
volvemos a lo mismo, f' 00:21:28
¿vale? aquí voy a poner como una 00:21:30
tablita, f' 00:21:32
y aquí f de x, entonces 00:21:34
yo donde tengo que ver lo positivo 00:21:36
o lo negativo es 00:21:39
en f' de x, ¿vale? entonces 00:21:40
¿yo qué puedo hacer? 00:21:42
f' de 00:21:44
de menos 3 00:21:45
f' de menos 3, ¿cuánto es? 00:21:47
es 2 por menos 3, ¿verdad? 00:21:50
Y además, chavales, lo de abajo 00:21:53
me da exactamente cuánto vale. 00:21:54
¿Por qué? 00:21:58
Porque lo de abajo, ¿vale? 00:21:58
3 elevado al cuadrado, ¿cómo va a ser siempre, chavales? 00:21:59
Positivo. 00:22:02
¿Vale? ¿Lo veis? 00:22:03
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:22:05
Esto, como es negativo y esto es positivo, 00:22:06
esto es menor que 0. 00:22:08
¿De acuerdo, chavales? 00:22:10
¿Estáis de acuerdo conmigo en lo que estoy haciendo? 00:22:12
Entonces, esto es negativo. 00:22:14
¿Cómo es f de x? 00:22:17
Decreciente, ¿vale? Decreciente. 00:22:20
Me voy, chavales, a f' de menos 1. 00:22:24
Y esto es 2 por menos 1 y esto es algo positivo. 00:22:28
Aquí veo también que es negativo, ¿lo veis? 00:22:33
Entonces esto es negativo, pues decrece. 00:22:36
¿Estáis de acuerdo conmigo, chavales? 00:22:42
Y luego vais a ver f de 1, pues ya tengo 2 por 1 por algo positivo mayor que 0. 00:22:44
Esto es positivo, crece. Y ahora aquí, f' de 3, igual, tengo 2 por 3 entre algo positivo mayor que 0. Esto es positivo, crece. 00:22:50
Entonces, chavales, ¿esto es la segunda derivada? No. ¿Se puede hacer con la segunda derivada? Se puede hacer. 00:23:06
Pero yo cuando es racional no os lo recomiendo, ¿vale? 00:23:14
No os lo recomiendo, lo podéis hacer sin problema. 00:23:18
Pero aquí veis que es fácil ver lo que me interesa a mí realmente es el signo, ¿vale? 00:23:21
Pero aquí es súper importante, ¿vale? 00:23:27
Primero, donde vemos el positivo y el negativo es en la primera derivada. 00:23:29
Y sabiendo el signo de la primera derivada yo ya puedo decir que mi función crece o decrece, ¿vale? 00:23:34
Un error típico es hacerlo al revés, ¿vale? 00:23:40
confundir esto de aquí 00:23:43
pero no os confundáis, dados cuenta que siempre 00:23:45
como la primera derivada 00:23:48
es la pendiente de la recta tangente 00:23:50
yo tengo mi función y hago una recta 00:23:52
tangente, si veo que va 00:23:54
es positiva, es que está 00:23:56
creciendo mi función, y si yo 00:23:58
tengo mi función y hago una recta 00:24:00
tangente, veo que va 00:24:02
la pendiente es negativa, es negativa 00:24:03
mi función decreta, ¿de acuerdo? 00:24:05
entonces, ¿dónde tendré un máximo, chavales? 00:24:08
o un mínimo 00:24:10
Únicamente aquí 00:24:11
Porque el máximo, ¿qué es? 00:24:13
Es un punto donde a su izquierda crece y luego decrece 00:24:15
¿Cuál es el mínimo? 00:24:20
Cuando paso de decreciente a creciente 00:24:22
¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:24:24
Entonces, máximo en x igual a 0 00:24:26
Mínimo, perdón 00:24:32
Y además ya sabemos el valor de la y, ¿verdad? 00:24:34
Un mínimo en x igual a 0 00:24:41
Y aquí hay que decirlo, ¿eh? 00:24:43
mínimo en cero un cuarto. 00:24:44
¿Vale, chavales? 00:24:50
Esto lo tenemos que decir. 00:24:51
Súper importante. 00:24:53
Entonces, ¿puedo pasar, chavales? 00:24:55
¿Puedo pasar? 00:24:58
Entonces, ¿qué ocurre? 00:25:00
Pues fijaros, yo aquí ya sé que es creciente, ¿verdad? 00:25:01
Esto es decreciente. 00:25:05
Esto cada vez se hace más pequeño, ¿lo veis? 00:25:06
Esto aquí es creciente. 00:25:10
cada vez se hace más mayor. 00:25:12
Esto es decreciente. Además, 00:25:15
yo sé que tengo aquí un mínimo y 00:25:16
aquí va creciendo. Entonces, 00:25:18
yo ya puedo hacer un esbozo 00:25:20
perfecto de mi función. 00:25:22
¿Vale? Dime. 00:25:25
Nos lo pide para afianzar 00:25:29
que realmente esto, en vez de 00:25:30
hacer así como va a hacer, 00:25:32
no hace esto. Porque 00:25:35
yo puedo decrecer así. 00:25:36
¿Vale? Yo puedo decrecer 00:25:38
así. Es raro. 00:25:40
pero puedo decrecer de esa forma 00:25:42
y aquí puedo crecer, un segundillo, o puedo 00:25:44
crecer así o puedo 00:25:46
crecer asado. ¿Lo ves así 00:25:48
con el ratón? Dime 00:25:50
¿Lo veo fruto 00:25:51
y relativo? Claro 00:25:54
cuando hacemos la primera 00:25:56
derivada siempre se dice 00:25:58
que los máximos y los mínimos son relativos 00:26:00
¿Vale? Aquí que es lo que ocurre 00:26:02
como ya tenemos chavales 00:26:04
como ya tenemos chavales 00:26:06
que 00:26:08
las asíntotas verticales 00:26:09
que va desde menos infinito a más infinito. 00:26:12
Entonces, ¿este mínimo cómo creéis que va a ser? 00:26:15
¿Un mínimo absoluto o un mínimo relativo? 00:26:18
Relativo. 00:26:22
¿Por qué? 00:26:23
Porque la función toma valores menores que un cuarto. 00:26:23
¿Lo veis? 00:26:28
Es verdad que aquí hay un mínimo, 00:26:28
porque yo paso de decreciente a creciente, 00:26:30
pero date cuenta que mi función obtiene más. 00:26:33
Es que en todo este intervalo, 00:26:36
este es el menos 2, 00:26:38
Y el 2, mi función siempre es negativa. 00:26:39
Entonces, claro, este 1 cuarto es relativo. 00:26:43
¿Vale? 00:26:46
¿O no? 00:26:47
¿Vale? 00:26:49
Entonces, es un mínimo relativo. 00:26:51
Y lo suyo es dar tanto la coordenada x como la y, ¿eh? 00:26:55
Que la y es sustituir en la función, en este caso, el 0. 00:26:58
¿Vale, chavales? 00:27:02
Y ahora, me piden concavidad, ¿no? 00:27:04
Paputea, ¿verdad? 00:27:06
Me piden concavidad. 00:27:08
Entonces, no me queda más remedio que hacer la segunda derivada. 00:27:09
¿Vale, chavales? 00:27:12
No me queda más remedio que hacer la segunda derivada. 00:27:13
¿Qué es el apartado C o no? 00:27:18
Del B, ¿verdad? 00:27:21
Vale. 00:27:24
Claro, claro. 00:27:28
Lo que pasa es que yo, el dios, si no me piden concavidad y convesidad, 00:27:29
yo no hago la segunda derivada. 00:27:33
¿Vale? 00:27:35
Pero me va a salir lo mismo. 00:27:36
Entonces, concavidad. 00:27:38
Realmente es curvatura. 00:27:42
¿Vale? Curvatura, curvatura. 00:27:43
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? La primera derivada, recordármela, era 2x y abajo era 4 menos x al cuadrado al cuadrado, ¿no? 00:27:50
Entonces, segunda derivada. 00:28:01
Es la derivada del primero, que es un 2, por 4 menos x al cuadrado, la segunda sin derivar, 00:28:04
menos la primera sin derivar por la derivada del segundo. 00:28:11
Y la derivada del segundo es 2 por 4 menos x al cuadrado elevado a 2 menos 1, que es 1. 00:28:15
Y luego la derivada del segundo, que es menos 2x. 00:28:23
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? 00:28:27
Y abajo, ¿qué me quedaría? 00:28:29
Y aquí, súper importante, ¿vale, chavales? 00:28:31
Me quedaría 4 menos x al cuadrado elevado a la cuarta. 00:28:34
Entonces, aquí un truco que os recomiendo siempre, ¿vale? 00:28:40
En este tipo de derivadas, si os fijáis, aquí me aparece este factor, ¿verdad? 00:28:44
Dos veces. 00:28:50
Pero es que a mí también me aparece este factor, ¿lo veis? 00:28:51
Y aquí me aparece, pues ya ves tú, 4. 00:28:54
Entonces me voy a cepillar, como tengo aquí nada más que dos sumandos, 00:28:57
y en los dos sumandos aparece el 4 menos x al cuadrado, 00:29:02
Me los cepillo todos para que el numerador se haga más liviano. 00:29:05
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:29:12
Entonces, ¿qué me quedaría? 00:29:14
Me queda 2 por 4 menos x al cuadrado. 00:29:15
Y aquí me quedaría un más, donde este me lo he cepillado. 00:29:20
Aquí me cepillo un 2 y esto se me queda un 3. 00:29:24
¿Y esto qué sería? 00:29:27
Más 8x al cuadrado. 00:29:29
¿Vale? Sí, ¿verdad? 00:29:30
Y abajo, lo único es que abajo, esto es una jodienda, me queda esto impar. 00:29:31
Por lo tanto, puede ser tanto positivo como negativo. 00:29:42
¿Sabes lo que he hecho, Gemena? 00:29:45
Esto de aquí he sacado factor común 4 menos x al cuadrado, ¿vale? 00:29:46
Aquí aparece dos veces, aquí aparece una y aquí cuatro, ¿vale? 00:29:50
Entonces, lo que hago es me cepillo uno de ellos, por lo tanto, aquí me va a aparecer una vez. 00:29:55
aquí esto me lo cepillo y lo que he hecho 00:29:59
es 2x por 2 es 4x 00:30:02
4x por 2x es 8x 00:30:04
al cuadrado, menos por menos es más 00:30:06
y aquí que me aparecía 4 veces 00:30:08
me aparece 3 00:30:10
¿cómo? 00:30:11
¿cómo es que lo he quitado 2 veces? 00:30:19
claro, pero aquí lo he sacado factor común 00:30:23
a ver, lo voy a hacer despacito 00:30:25
venga, lo voy a hacer despacito, ¿vale? 00:30:27
venga 00:30:33
Esto es igual, voy a sacar factor común 4 menos x al cuadrado 00:30:33
Entonces aquí que me queda 2 por 4 menos x al cuadrado una vez 00:30:37
Y aquí abajo que me queda 2x por 2 por menos 2x 00:30:43
¿Estáis de acuerdo conmigo como he sacado factor común? 00:30:50
¿Eh chavales? 00:30:54
Y abajo me queda 4 menos x al cuadrado a la cuarta 00:30:57
yo he sacado factor común este redondito de los dos 00:31:01
aquí me queda un 2 solo y 4 menos x al cuadrado 00:31:06
aquí me lo cepillo y me queda 2x por 2 por menos 2x 00:31:11
y ahora ya sí, yo creo que ahora ya sí lo podéis ver mejor 00:31:14
que me queda un 3, ¿verdad? 00:31:18
entonces esto que me queda 00:31:20
me queda 8 menos 2x al cuadrado 00:31:22
¿verdad? más 8x al cuadrado ¿verdad? y abajo que me queda 4 menos x al cuadrado elevado al cubo 00:31:27
¿esto qué es? esto es 6x al cuadrado más 8 partido de 4 menos x al cuadrado al cubo ¿vale? 00:31:38
Entonces, chavales, llegado a este punto, esto es la segunda derivada. Y aquí es muy importante que tengamos conceptos básicos, claros, porque nos ayudan mucho. A mí, ¿qué es lo que me interesa realmente saber de la segunda derivada? El signo. El signo es lo que me interesa, ¿vale? 00:31:51
Entonces, chavales, lo de arriba, el numerador, tengo un 6 multiplicando un número al cuadrado. 00:32:11
Un número al cuadrado siempre como es, positivo o negativo. 00:32:20
Positivo. 00:32:24
Si yo lo multiplico por otro número positivo, sigue siendo positivo. 00:32:24
Y es más, si yo encima le sumo un oso, se me queda ya superpositivo. 00:32:28
¿Lo veis? 00:32:34
Entonces, el numerador siempre es positivo. 00:32:35
Pues yo ahora me limito a estudiar el signo de lo de abajo, ¿vale? 00:32:37
Me limito a estudiar el signo de lo de abajo. 00:32:44
Y es más, me limito a estudiar el signo de 4 menos x al cuadrado, únicamente. 00:32:47
¿Vale, chavales? ¿Sí? ¿Sí? 00:32:53
Y entonces... 00:32:56
¿Cómo lo igualamos a cero? 00:32:57
¿Eh? 00:32:59
¿Cómo lo igualamos a cero? 00:32:59
Si lo igualas a cero, tienes el punto de inflexión, ¿no? 00:33:02
Si lo igualas a cero, tienes el punto de inflexión. 00:33:06
Pero a mí lo que me interesa es la curvatura positiva y negativa, ¿vale? 00:33:09
De hecho, ¿por qué me sale punto de inflexión? 00:33:17
El punto de inflexión me sale en la raíz de 4,3. 00:33:21
¿Tengo punto de inflexión? 00:33:27
No da solución real, ¿no? 00:33:30
Vale, no da solución real, efectivamente. 00:33:33
Es que no tiene punto de inflexión. 00:33:35
Pero venga, ya que estamos, f segunda de x lo igualamos a 0, chavales. 00:33:36
Me queda 6x cuadrado más 8 partido de 4 menos x cuadrado al cubo es igual a 0. 00:33:42
Por lo tanto, esto es 6x cuadrado más 8 igual a 0. 00:33:49
Es decir, x cuadrado es igual a menos 4 tercios. 00:33:54
¿Esto tiene alguna vez solución real? 00:33:59
No tiene solución real. 00:34:01
No tiene solución real, es decir, no existe punto de inflexión. 00:34:04
Y ahora, para ver el signo, chavales, yo me voy a limitar a 4 menos x al cuadrado, ¿vale? Me voy a limitar a 4 menos x al cuadrado, ¿por qué? Porque esto siempre es mayor que 0. 00:34:10
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo tengo aquí el menos 2 y el 2, ¿verdad? Más infinito y menos infinito. 00:34:28
Aquí, esto es una parábola de Cristo 00:34:40
Y además los cuernos son para abajo, ¿lo veis? 00:34:43
Los cuernos son para abajo 00:34:46
Esto realmente, gráficamente 00:34:47
Me va a hacer una cosita así 00:34:48
Si no, ¿dónde me voy a ir? 00:34:50
Chavales, al 0 00:34:54
¿Lo veis? En el 0 00:34:55
¿Y cuánto vale esto en el 0? 00:34:57
Vale 4, esto es positivo 00:35:00
¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:35:01
Y si yo tengo aquí el menos 3 00:35:04
Pues de nuevo, menos 3 al cuadrado es 9 00:35:07
4 menos 9, esto es negativo y esto es negativo. 00:35:09
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? 00:35:13
Entonces, ¿qué ocurre? 00:35:15
Que si la f segunda de x aquí es negativo, aquí es positivo y aquí es negativo, 00:35:17
¿yo qué puedo decir de mi fx? 00:35:23
Es una curvatura hacia abajo, una curvatura hacia arriba y una curvatura hacia abajo. 00:35:26
¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:35:34
entonces ya sí que con esto de aquí, la curvatura 00:35:36
yo aquí ya sí que puedo decir lo que yo ya preveía 00:35:42
¿puedo pasar un momentillo ya, vale? 00:35:48
¿No, Elia, no? Vale, aquí puedo sustituir, ¿vale? 00:35:51
¿Cuánto vale f segunda de 0? 00:35:58
f segunda de 0 vale 8 partido de 4 al cubo 00:36:01
y esto sé que es mayor que 0 00:36:05
¿Cuánto vale f segunda? Yo me iría a menos 10, por ejemplo 00:36:07
Esto es positivo y esto es negativo, menor que cero. 00:36:11
Y f segunda de 10, esto es 608, ¿vale? 00:36:20
Igual que aquí, esto es 608 y esto me da un número negativo. 00:36:28
¿Y esto cuánto es? 00:36:32
Esto es menos 96 al cubo, ¿no? 00:36:34
que como os dais cuenta 00:36:40
y esto también es menos 96 al cubo 00:36:43
coño 00:36:48
lo veis chavales 00:36:49
lo que he hecho es sustituir ¿vale? 00:36:52
menos 96 00:36:55
al cubo 00:36:56
esto es positivo, esto es negativo, menor que 0 00:36:57
ya lo tengo aquí 00:37:00
¿vale chavales? intentad hacer esto 00:37:01
en el examen para ver que no te has 00:37:04
inventado lo de poner menos más menos 00:37:06
¿vale? o si no lo explicas 00:37:08
me limito al estudio de 00:37:10
4 menos x al cuadrado, ¿vale? 00:37:12
Es una parábola con... 00:37:14
Hostia, con los cuernos, ¿no? 00:37:18
Una... 00:37:21
O bueno, estudio el signo de esto, 00:37:21
ya sé que como el numerador es positivo, ¿vale? 00:37:25
O si no, no me complico la vida, 00:37:28
hago f segunda de 0, f segunda de menos 10 00:37:30
y f segunda de 10, por ejemplo, ¿vale? 00:37:33
Y veo que me sale positivo, negativo y negativo, ¿vale? 00:37:35
Entonces, ¿eso qué me implica, chavales? 00:37:39
Aquí, como son los cuernos hacia arriba, la curvatura es hacia arriba, mi función es así, ¿vale? 00:37:40
Bien dibujado, claro, esto es un mojón lo que he dibujado, ¿vale? 00:37:49
Esto es lo que ayer se conoce. 00:37:53
Los puntos de corte ya los hallamos ayer. 00:37:56
Solo hay uno, ¿vale? 00:37:58
Aquí, chavales, no me queda más remedio que mi curvatura sea así. 00:38:00
Son los cuernos hacia abajo, ¿vale? 00:38:04
Y aquí son también los cuernos hacia abajo los que pasa que no termino de bajar, ¿vale? 00:38:06
Esta es gráficamente mi función y aquí veo que la curvatura es así, aquí veo que la curvatura es asado y aquí veo que la curvatura es así. 00:38:13
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:38:25
Pero esta es al final toda la información. 00:38:29
y ahora empezamos por el dominio 00:38:31
el dominio eran todos menos 2 es menos 2 00:38:34
luego nos fuimos a los puntos de corte 00:38:36
no existía punto de corte en el eje de las X 00:38:38
pero si en la Y era el 0 un cuarto 00:38:40
luego nos fuimos a las asíntotas 00:38:43
vimos que teníamos una asíntota horizontal en el 0 00:38:45
tanto en el magnífico como en el infinito 00:38:48
a ver, me voy aproximando, aproximando, aproximando 00:38:50
pero no toco 00:38:52
tengo luego dos asíntotas verticales 00:38:54
¿de acuerdo? y no tengo oblicuas al tenerla horizontal 00:38:57
Vale. Luego me voy al crecimiento. En el crecimiento, si os dabais cuenta, aquí era decreciente, hasta aquí era decreciente hasta cero, y luego crecía aquí y crecía aquí. ¿Lo veis? 00:38:59
Y luego en la curvatura, la curvatura me sale que aquí es una curvatura hacia abajo, aquí me salía curvatura hacia arriba y aquí curvatura hacia abajo. 00:39:12
Y además no tengo puntos de inflexión, ¿vale? ¿Por qué? Porque no hay ningún número que elevado al cuadrado me dé un número negativo, ¿vale? Y entonces ya tendría la representación gráfica de la función. 00:39:24
Claro, claro, es que te facilita muchísimo 00:39:39
Te facilita muchísimo 00:39:46
¿Vale, chavales? 00:39:48
Te facilita mogollón 00:39:50
Vas poniendo aquí las flechitas estas famosas 00:39:51
Tú vas poniendo las flechitas 00:39:54
¿Vale? Si no hay punto de corte 00:39:56
Pues no pones punto de corte 00:39:58
Entonces aquí lo suyo, chavales, es 00:39:59
A medida que vais haciendo el estudio 00:40:01
A lo mejor en una hoja en sucio 00:40:03
O en otro apartado del 00:40:05
folio va a ir poniendo 00:40:07
los ejes coordenados y va a ir rellenando 00:40:10
todas las cosas, ¿de acuerdo? 00:40:12
¿sí? 00:40:14
venga, esta preguntita de aquí 00:40:16
tiene malaje, ¿vale? 00:40:17
ya hemos dibujado la gráfica 00:40:20
me dice 00:40:23
que haya su máximo y su 00:40:24
mínimo absoluto en el intervalo 00:40:26
menos uno a uno, ¿vale? 00:40:28
entonces 00:40:30
daros cuenta 00:40:31
vayamos a un gráfico 00:40:34
que he hecho, pero bueno 00:40:36
voy a intentar representarla otra vez 00:40:37
¿vale chavales? si yo tengo 00:40:40
esto aquí y esto aquí 00:40:42
bueno, más o menos 00:40:48
¿vale? 00:40:54
entonces yo tenía aquí 00:40:55
mi gráfica era más o menos un mojoncillo 00:40:57
así ¿verdad? 00:41:00
aquí era así más o menos ¿verdad? 00:41:05
y aquí 00:41:08
era así 00:41:10
entiéndase que esto es el 2 00:41:11
¿vale? y esto 00:41:14
es un mojón ¿vale? esto es muy rápido para 00:41:15
Entonces lo que me dicen es que entre el menos 1 y el 1, ¿vale? Que haya los máximos y los mínimos relativos, ¿vale? Eso es lo que me pide. 00:41:18
Como yo ya he estudiado el crecimiento de crecimiento, yo ya sé que yo aquí tengo en el 0 menos 4, en el 0 un cuarto, perdona, yo tengo ya un mínimo. ¿Lo veis? Y entonces como mi función no cambia de monotonía, sino que aquí va decreciendo y aquí va creciendo, ¿qué ocurre? ¿Qué voy a tener en el menos 1 y en el 1? ¿Qué voy a tener? Máximos absolutos. 00:41:30
Y además, como es par, ¿qué ocurre? 00:41:56
¿Cómo van a ser las y tanto en el 1 como en el menos 1? 00:42:00
Daros cuenta que en la par, f de menos x es igual a f de x. 00:42:04
Por lo tanto, f de menos 1 va a ser igual a f de 1. 00:42:11
¿Lo veis, chavales? 00:42:16
Todo esto yo lo tengo que contar un poco, ¿vale? 00:42:18
Aquí la función es, su monotonía es de decreciente a decreciente, tenemos un mínimo en el 0, un cuarto que además coincide con el punto de corte con el eje y prima y entonces en el 1 y en el menos 1 vamos a tener un máximo, tenemos máximos absolutos en x igual a 1 y en x igual a menos 1. 00:42:20
Como es par, f de menos 1 es igual a f de 1, con lo cual, chavales, si f de x era igual a 1 partido 4 menos x al cuadrado, fijaros, f de 1, ¿cuánto vale? 00:42:49
1 partido 4 menos 1 al cuadrado, es decir, un tercio. 00:43:07
¿Lo veis? ¿Sí o no? Un tercio. 00:43:13
Entonces, vamos a tener mínimo absoluto en cero un cuarto, máximos, ¿alguien se me ha perdido, chavales? Absolutos en menos uno un tercio y uno un tercio. 00:43:17
Lo único que he hecho es sustituir en mi función la x por 1. 00:43:44
¿Lo ves? F de 1. 00:43:49
Porque yo ya sé que aquí voy decreciendo mi función. 00:43:53
Como ya la he dibujado, yo sé que aquí voy decreciendo. 00:43:57
Aquí voy creciendo. 00:44:01
Yo no hago esto de aquí. 00:44:03
¿Lo ves? Yo no hago eso. 00:44:07
Entonces ya como es la monotonía, aquí es decreciente y aquí es creciente, 00:44:09
en f de 1 y en f de menos 1 00:44:14
voy a tener máximos 00:44:17
máximos absolutos 00:44:18
lo veis chavales en ese intervalo 00:44:21
porque yo sé que no cambia 00:44:23
el crecimiento de crecimiento, otra cosa 00:44:25
distinta es que cambie 00:44:26
que putada 00:44:28
chavales 00:44:33
nos queda muy poco 00:44:35
pero necesito empezar a hacer este 00:44:38
para enseñaros una cosilla 00:44:40
que nos puede caer 00:44:41
que tiene toda la pinta de que pueda 00:44:43
caer, vale 00:44:45
¿Me permitís que pase? 00:44:46
Venga, intentármelo hacer para mañana 00:44:51
Es f de x, chavales, es igual a x al cubo menos 1 partido x cuadrado menos 1 00:44:54
Y entonces, chavales, aquí súper importante 00:45:02
Primero, ¿cómo empezamos siempre? 00:45:05
Con el dominio, ¿verdad? 00:45:08
Entonces, dominio de f de x 00:45:09
¿Qué hago? ¿Qué tengo aquí, chavales? 00:45:11
Lo primero que me tengo que dar cuenta, ¿esto qué es? 00:45:13
Una, bueno, pero ¿esto qué es lo que es? Una, una relacional, y una relacional que implica un, una relacional que implica un cociente, muy bien, y un cociente es una división, y ¿qué no se hace? Dividir por cero. 00:45:15
entonces 00:45:35
wow 00:45:36
ahora 00:45:38
entonces, sí, sí, aquí es dibujar la función 00:45:40
¿vale? dibujar 00:45:44
la función, pero aquí, ¿qué ocurre chavales? 00:45:45
dominio de f de x 00:45:49
¿y yo qué hago? x cuadrado menos 1 00:45:50
igual a 0 ¿verdad? x cuadrado 00:45:52
es igual a 1, chavales 00:45:54
aquí, allí estaba yo con mi hija con esto 00:45:55
para quitar aquí la x 00:45:58
al cuadrado, tengo que 00:46:00
poner artificialmente 00:46:02
El más menos, ¿vale? 00:46:03
¿Y esto qué es? 00:46:05
Más menos 1. 00:46:06
Esto me lo he encontrado en algunos exámenes de ustedes. 00:46:07
Por favor, ¿eh? 00:46:09
Cuando tenemos x cuadrado igual a 1, 00:46:11
para dejar la x sola, 00:46:12
yo tengo que poner artificialmente el más menos 00:46:14
y hago la raíz, ¿de acuerdo? 00:46:16
Entonces, mi dominio, chavales, 00:46:18
sería todos los reales menos el menos 1 y el 1. 00:46:20
Pero aquí mucho cuidado. 00:46:24
Muchísimo cuidado, ¿vale? 00:46:26
¿Por qué? 00:46:28
Uy, Carol, qué envidia, hija. 00:46:29
Entonces, ¿qué ocurre? 00:46:31
Vale, el 1 y el menos 1, ¿vale? El 1 y el menos 1. ¿Me anulan el numerador? Tenemos que verlo, ¿vale? Tenemos que verlo. Entonces, hay que ver, hay que ver si anula el numerador, ¿vale, chavales? 00:46:32
Entonces, x igual a menos 1, ¿me anula el numerador? Sería menos 1 al cubo menos 1, esto es menos 2, ¿verdad? No lo anula. 00:46:54
Pero, ¿qué ocurre con x igual a 1, chavales? Que tenemos 1 al cubo menos 1, que es igual a 0. 00:47:06
¿Qué implica, chavales? 00:47:12
¿Qué implica? 00:47:15
¿Qué implica? Es súper importante 00:47:17
que me anule el 1 00:47:18
el numerador 00:47:21
que yo lo puedo factorizar 00:47:23
¿por cuánto? Por x 00:47:25
menos 1. ¿Lo veis? 00:47:27
Entonces, aquí 00:47:29
¿cómo se procede? Hago a mi amigo 00:47:31
Ruffini 00:47:33
que es el primo italiano de Ruffo 00:47:33
3, 2, 00:47:36
1, 0 00:47:39
¿Qué número voy a poner aquí, chavales, sí o sí? 00:47:41
¿Qué número voy a poner aquí? 00:47:44
El 1. 00:47:45
Voy a poner el 1, ¿vale? 00:47:46
Tengo un 1, un 1, un 1, un 1, un 1, un 1. 00:47:48
Esto lo hago para que en vez de estudiar ya la función 00:47:53
con esto de aquí, que se forma un shosho tremendo, 00:47:57
vamos a trabajar con una función que es exactamente igual, 00:48:01
pero más chiquitita. 00:48:06
Efectivamente. 00:48:09
Entonces, cuando me anula el denominador, por favor, vemos si anula el numerador. 00:48:10
En la otra no tenía sentido porque el numerador era un 1, ¿vale? 00:48:14
Pero aquí tenemos que ver, ¿vale? 00:48:18
Y entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:48:19
Que yo, mi f de x, que es x al cubo menos 1, y perdonadme por el tiempo, ¿eh? 00:48:23
Esto aquí es igual. 00:48:30
Esto es igual a x menos 1. 00:48:31
Esto de aquí, ¿os acordáis cómo se traducía? 00:48:34
Esto era... 00:48:37
¿Muy bien? 00:48:38
Muy bien, perfecto. X cuadrado más X más 1, ¿vale? Y abajo, ¿qué era, chavales? Esto además es una identidad notable, suma por diferencia, ¿verdad? Y entonces, chavales, para el dominio, esta. Y esto está perfecto, ¿de acuerdo? 00:48:40
Pero para el resto, para el resto, yo esto me lo puedo cepillar y yo ya me quedo para el estudio, chavales, esta función de aquí, ¿vale? Esta función de aquí. 00:48:59
Y chavales, no sé si habéis mirado o recordáis lo que vimos cuando estudiamos la continuidad. Cuando anulaba el numerador y denominador, ¿qué tenía en ese punto? ¿Qué hay en x igual a 1? ¿Os recordáis? ¿Qué había en x igual a 1? 00:49:13
porque ya esto 00:49:33
en x igual a 1 00:49:34
esto ya no me lo anula 00:49:36
ya no me anula ni numerador 00:49:38
ni denominador, ¿la habéis visto? 00:49:40
¿qué había? cuando había 00:49:42
un punto que me anulaba 00:49:44
los dos, por lo tanto yo me podía 00:49:46
cepillar ese punto 00:49:48
ya no me anula ninguno 00:49:51
más, ¿no lo recordáis? 00:49:54
evitable 00:49:58
discontinuidad evitable 00:49:58
daros cuenta que en el menos, en el 1 00:50:00
no existe la función, ¿vale? 00:50:02
Entonces, en el 1 hay una discontinuidad evitable. 00:50:04
¿Por qué? Además lo podéis hacer, 00:50:16
si yo hago el límite, 00:50:17
uno a la izquierda, uno a la derecha, 00:50:19
me va a dar lo mismo, 00:50:20
pero existe f de 1, 00:50:22
no porque no pertenece al dominio. 00:50:24
Entonces, chavales, lo único, 00:50:26
el dominio es este, 00:50:28
en el 1 vamos a poner un agujerito blanco 00:50:30
y hacer todo el estudio con esto 00:50:33
y es mucho más fácil, yo os invito 00:50:36
a que lo hagáis con los dos 00:50:38
aquí os vais a acordar de todo mi familia 00:50:39
y aquí vais a ver que es mucho 00:50:42
más sencillo de todo 00:50:44
claro, si te lo anulas 00:50:45
lo ves como pasa así 00:50:49
si este de aquí también va a anular arriba 00:50:51
pues entonces estás de suerte porque 00:50:59
me puedo seguir cepillando 00:51:01
Y entonces, imagínate que este y este comparten una raíz, ¿vale? 00:51:02
Que es el menos uno, que no es el caso, ¿vale? 00:51:08
Entonces, yo este lo podría seguir haciendo aquí por Rufín y por el menos uno. 00:51:10
Me daría ahora, fíjate, este se vería con esta. 00:51:14
Aquí me quedaría un polinomio de primer grado y lo que tengo es una recta. 00:51:17
Entonces, de tener el chocho que voy a tener aquí, paso a tener una recta, ¿vale? 00:51:24
lo único que voy a tener 00:51:30
agujeritos en esa recta 00:51:32
voy a tener agujeritos 00:51:34
tanto en el menos 1 como en el 1 00:51:36
pero es una recta 00:51:37
y es el puntazo 00:51:39
es evitable 00:51:41
porque si tú haces el límite 00:51:42
en x igual a 1 00:51:46
haces el límite de esto 00:51:47
y te va a salir un valor de hecho 00:51:49
1 más 1 es 3 medios 00:51:51
el límite no tengo que hacer ni laterales ni nada 00:51:52
me sale 3 medios 00:51:55
y existe f de 1 00:51:56
la discontinuidad habitable era que exista el límite 00:52:00
pero no exista la función 00:52:19
o en la función valga otra cosa 00:52:21
Rufo, tú vas a venir, ¿no? 00:52:22
Gracias. 00:53:01
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, 00:53:35
no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, 00:53:45
no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, 00:53:50
No, qué poca fe, cojones. 00:53:57
Adiós, joven. 00:54:06
Adiós. 00:54:07
Adiós. 00:54:08
Adiós. 00:54:12
Adiós. 00:54:13
Adiós. 00:54:16
Adiós. 00:54:17
Adiós. 00:54:18
Adiós. 00:54:19
Adiós. 00:54:20
Adiós. 00:54:58
Adiós. 00:54:59
Adiós. 00:55:22
Adiós. 00:55:23
Adiós. 00:55:24
¡Gracias! 00:55:25
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
3 de marzo de 2026 - 10:30
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
56′ 35″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
101.86 MBytes

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