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Funciones Cuadráticas - Contenido educativo

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Subido el 3 de noviembre de 2026 por Araceli A.

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Ejercicios 59 y 61

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Vamos a hacer el 59. Me está diciendo que tengo una parábola que es 2x cuadrado, es una parábola bastante básica, pero vamos a dibujarla. 00:00:00
Y a partir de ella tengo que hacer otras. Este ejercicio lo podríais hacer directamente utilizando los cuatro pasos que os conté para estudiar una parábola. 00:00:16
Primero vemos la curvatura, luego calculamos las coordenadas del vértice, vemos también el eje de simetría y los puntos de corte y dibujamos. 00:00:26
Pero está hecho para que penséis una forma mucho más corta, que es si conocemos una función, a partir de ella otras por traslación las podemos dibujar directamente 00:00:35
sin tener que hacer todos los pasos. Entonces lo que os dice es que os dibujéis 2x cuadrado y a partir de ella miréis a, b, c, d y esas funciones son traslaciones. 00:00:45
Entonces, así vamos a repasar las dos cosas, tanto la parábola como el concepto de las traslaciones, que es muy importante y que va a seguir siendo importante en este tema y en otros temas. 00:00:54
Incluso en segundo bachillerato se supone que es conocido y nos ha aparecido muchas veces en selectividad. Es una cosa que la gente tiende a olvidar. 00:01:06
vale las traslaciones pues imposible es importante que lo tengáis presente entonces os voy a hacer 00:01:14
unos ejes para que se vean no sé yo lo más grande vale voy a apuntar aquí unos ejes para si no yo 00:01:21
aquí con él con la tableta de dibujar rectas fatal vale pero cuál sería la función original a lo 00:01:33
mejor directamente la podéis hacer, ¿vale? Casi de cabeza, pero a lo mejor no, porque si tenéis mucha 00:01:40
costumbre ya os va a sonar un montonazo, ¿vale? Pero si no me suena, o sea, por ejemplo, igual a x 00:01:45
cuadrado, pues ya en segundo deberíamos de memoria saberla dibujar, pero bueno, supongo que no. Entonces, 00:01:52
pues voy a hacerme todos los pasos, ¿vale? Como es una muy sencilla, los pasos me van a costar 00:01:58
más o menos, ya veréis, ¿vale? Entonces, porque claro, solamente tiene a, ¿vale? No tiene ni b ni c. 00:02:03
Entonces, igual a 2x cuadrado, ¿vale? La a vale 2, la b y la c valen 0. Es una de las parábolas más básicas, ¿de acuerdo? 00:02:10
Entonces, primero, curvatura, vamos a hacer con todos los pasos, aunque sea de las facilonas. 00:02:23
Como la A es positiva, la A es 2, pues tenemos que acordarnos que si la A es positiva, la función era común. 00:02:30
Así, ¿no? Que se llamaba convexa. 00:02:43
Primera cosa que me va a ayudar bastante. 00:02:47
segunda cosa 00:02:50
vamos a pensar en el vértice 00:02:52
este caso yo os digo que es súper fácil 00:02:55
el vértice 00:02:57
de esta y otras parecidas 00:02:58
siempre va a ser el origen 00:03:00
¿por qué? 00:03:01
pues porque si tú te vas a la fórmula 00:03:03
menos b entre 2a 00:03:05
y como la b es 0 00:03:07
pues esto va a dar 0 00:03:09
¿vale? y la y del vértice 00:03:10
pues como era f de 0 00:03:13
¿vale? 00:03:16
era la imagen de la x del vértice 00:03:17
o sea, sustituir en la fórmula, pero como la fórmula es tan sencilla, 2 por 0 al cuadrado, por 0, ¿vale? 00:03:19
Entonces, todas las parábolas del tipo y igual a x cuadrado, igual a 2x cuadrado, igual a menos x cuadrado, igual a un medio x cuadrado, 00:03:27
o sea, las que no tienen b ni c, ¿de acuerdo? Siempre van a tener como vértice el origen de coordenadas. 00:03:34
Y además, si la a es positiva, como es el caso, pues es de estas, ¿vale? Y si la a fuera negativa, sería de estas. 00:03:40
para arriba, o sea, convexa 00:03:46
así, a ver si dibujo 00:03:49
aquí, vale 00:03:51
bueno, que mal dibujo es con el 00:03:53
y concava, así, vale 00:03:54
de acuerdo 00:03:57
entonces, pero siempre pasando por el 0, 0 00:03:58
ahora, que quiero dibujarme más cosas 00:04:01
pues bien, pero no me va a hacer mucha 00:04:03
falta en esta tan básica porque veréis 00:04:05
bueno, el eje 00:04:07
claramente x igual a 0 00:04:09
porque siempre pasa 00:04:10
por la x del vértice 00:04:13
que en este caso era cero, entonces muy fácil, x igual a cero es el eje y acordaros que eso está 00:04:15
como cambiado, ¿vale? ¿Por qué? Pues porque todos los puntos, por ejemplo este punto es el 0, 1, 00:04:20
este punto es el 0, 2, 0, 3, menos 1, 0, perdón, 0, menos 1, 0, menos 2, todos estos puntos tienen 00:04:30
la x, 0, entonces todos los puntos que están sobre el eje y tienen la x, 0, por eso esa es la ecuación 00:04:38
del eje y cuarto sería el punto de corte pero tampoco va a tener mucho misterio esto vale 00:04:43
porque si pensáis que esto va a tener su vértice aquí y va a tener ese eje de simetría y que es 00:04:49
convexa va a ser así vale entonces no va a tener más puntos de corte que éste si lo queréis 00:04:56
comprobar es súper fácil haces si x es igual a 0 sustituyes vale entonces igual a 2 por 0 al 00:05:01
cuadrado, te da cero. El corte con el eje y es el cero, cero. Claro, el vértice, ¿vale? Pero es que 00:05:09
si quieres cortar al eje y, o sea, al eje x, también te va a salir el mismo. ¿Por qué? Porque 00:05:19
la ecuación cero igual a dos por x al cuadrado, la solución sería cero partido de dos, o sea, cero. 00:05:25
entonces sigue siendo el 0, 0 00:05:33
¿vale? la X y la Y 00:05:36
entonces los únicos puntos de corte 00:05:38
el único punto de corte 00:05:40
es el propio vértice 00:05:42
¿vale? el 0, 0 00:05:44
entonces no tiene mucho misterio 00:05:45
y en este caso sí que yo daría un par de valores 00:05:46
sustituyes la X por ejemplo 00:05:49
te haces una mini tablita 00:05:51
ya sabéis que al tener el eje de simetría 00:05:52
con hacer por ejemplo los de un lado 00:05:56
los del otro los voy a sacar por simetría 00:05:57
ya no los tengo que representar 00:05:59
Entonces, pues por ejemplo, si te haces 1 y 2, ¿vale? La y es 2x cuadrado, pues 2 por 1 al cuadrado, 2. 2 por 2 al cuadrado, 2 por 4, pues 8. Bueno, ya se me va de ahí, ¿vale? 00:06:01
Entonces, este es el primer punto y el otro está allá arriba, ¿vale? 00:06:19
Para el 2 se me va allá. 00:06:24
Entonces, la forma más o menos, bueno, ya está por simetría. 00:06:26
Entonces, la forma que me queda es esta. 00:06:31
Luego, si la trasladamos, podemos a lo mejor cambiar la escala, ¿vale? 00:06:34
Para poder expresar el 8, ¿vale? 00:06:37
El 2, 8. 00:06:41
Aquí no me ha cabido. 00:06:42
Bueno, pues haríamos nuestra... 00:06:44
cada día peor 00:06:47
vamos a ver si soy capaz de dibujar 00:06:50
con el pulso aquí 00:06:55
es que claro 00:06:56
uno de los motivos 00:06:59
por lo que estamos haciendo la huelga 00:07:01
es tener mejores recursos 00:07:02
entonces yo todo el material que utilizo 00:07:04
para dos clases online me lo he comprado yo 00:07:06
entonces claro 00:07:08
encima este mes no cobro 00:07:10
porque realmente la tableta que tengo 00:07:11
no son los mejores 00:07:14
podría tener una 00:07:16
una tablet 00:07:18
pero es que antes tenía una 00:07:21
se me estropeó hace años y claro 00:07:22
la sustituí por la tableta gráfica 00:07:24
pero es que la tableta gráfica para dibujar es fatal 00:07:26
es mucho más barata y como me la tengo que pagar yo 00:07:28
porque la consejería 00:07:31
no pone nunca recursos 00:07:32
bueno, es uno de los motivos por los que hacemos huelga 00:07:34
para quejarnos porque es que no hay recursos 00:07:36
para nada 00:07:39
bueno, entonces este año 00:07:39
yo quería cambiármela y gastarme el dinero 00:07:42
en comprar una buena pero 00:07:44
pues no, voy a poder 00:07:45
porque con todos los descuentos de la huelga no podemos permitirnos nada 00:07:47
y además no van a acceder a nuestras reivindicaciones 00:07:52
entonces no van a gastar nada de dinero en los centros 00:07:56
o sea que se van a ahorrar un montón de pasta 00:07:59
de lo que va este ejercicio es de que este dibujo tan chungo 00:08:00
pero habría que hacerlo un poco mejor 00:08:06
sería 2x cuadrado y de que lo traslademos 00:08:08
entonces ¿cómo podemos trasladar 2x cuadrado? 00:08:11
Ahí es súper importante, simplemente en este ejercicio, es qué traslaciones tenemos. 00:08:14
Entonces vamos a intentar recordar la teoría de las traslaciones. 00:08:21
Podemos tener traslaciones verticales y horizontales. 00:08:26
Entonces es súper importante, voy a hacer aquí un cuadrito. 00:08:31
Las más fáciles son las verticales, subo-bajo, porque se le suma la i. 00:08:36
entonces si la función original es igual a f de x 00:08:42
la función trasladada sería y igual a f de x más k 00:08:48
si le sumo k, un número positivo 00:08:54
significa que subo en vertical k unidades 00:08:59
y luego si le resto k igual a f de x menos k 00:09:05
significa que estoy bajando en vertical k unidades 00:09:11
¿Vale? Entonces, ejemplo, ¿quién es esa f de x? Pues imagínate que tu función original podría ser igual a raíz de x más 1 00:09:17
O tu función original podría ser seno de x 00:09:30
O tu función original podría ser x cuadrado menos 3 00:09:34
¿Vale? En cualquiera de esas, ¿qué significaría una traslación vertical? 00:09:39
Por ejemplo, de una unidad arriba, pues que aquí le sumaría más 1, aquí le sumaría más 1, aquí le sumaría más 1, ¿vale? 00:09:43
Aquí no se va a poder simplificar, aquí no se va a poder simplificar, aquí sí, ¿no? Podría poner x cuadrado menos 2. 00:09:54
Pero al final en todas estas son traslación vertical una unidad, ¿vale? De la original. 00:10:00
¿De acuerdo? Cuando digo f de x más k 00:10:06
significa eso, la fórmula que tenías entera y luego a la i 00:10:10
o sea al final de la fórmula le sumas el número que subió o baja 00:10:14
Esta es como la que las veis más claras, ¿vale? Entonces aquí a lo mejor 00:10:18
pues me lo identificáis y decís, mira, 2x cuadrado pero menos 00:10:22
3, ah pues esto es una bajo 3, ¿vale? Y esta pues 00:10:26
más 2, este más 2 me dice subo 2, pero no sobre esta sino sobre esta 00:10:30
entonces luego la otra parte que a veces os cuesta más 00:10:34
es ver cuando a la x le sumo 00:10:36
el resto, cuando a la x le sumo 00:10:38
el resto es donde está la x en el paréntesis 00:10:40
voy a escribirlo aquí en la teoría 00:10:42
traslaciones horizontales 00:10:44
uy, he cambiado de color 00:10:46
entonces 00:10:50
es a la x, eso sí que 00:10:52
es bastante fácil de recordar, la vertical 00:10:54
le va con la y, las horizontales 00:10:56
con la x, pero 00:10:58
si tu función original 00:10:59
es y igual a f de x 00:11:01
Entonces, tu función trasladada puede ser y igual a f de x más k, ¿vale? 00:11:05
f de x más k, que eso significa como a la x le has sumado k, te estás moviendo hacia atrás, 00:11:19
esto es lo que es antiintuitivo, ¿vale? Le sumas pero vas para atrás, k unidades a la izquierda. 00:11:26
pero si tú lo que tienes es f de x menos k 00:11:31
le estás restando k a la x 00:11:35
entonces te vas k a la derecha 00:11:40
pero lo que más os cuesta, aparte de que esto está como cambiado 00:11:43
que eso lo aprendéis ya, es entender f de x más k a qué se refiere 00:11:49
voy a ponerlo con los mismos ejemplos de ahí 00:11:53
si mi función original fuera y igual a raíz de x más 1 00:11:55
donde esté la x 00:11:59
tengo que, por ejemplo, voy a hacer una traslación 00:12:02
de dos unidades a la izquierda 00:12:06
si quiero hacer dos a la izquierda 00:12:09
pues la teoría me dice que a donde esté la x le sume dos 00:12:12
¿y dónde está la x aquí? 00:12:19
pues ahí donde estaba la x le tengo que sumar dos 00:12:24
entonces el resultado va a ser 00:12:27
igual a la raíz cuadrada de 00:12:28
donde estaba la x ahí dentro, le sumo dos 00:12:36
O sea, voy a poner x más 2 y luego en este ejemplo ponía más 1, ¿vale? 00:12:38
Entonces, esto es una traslación horizontal de dos unidades a la izquierda de esta función, ¿vale? 00:12:48
Esto sí se puede simplificar, sería raíz de x más 3. 00:12:54
Otro ejemplo, o sea, si yo dibujo raíz de x más 3, voy a ver que es igual que raíz de x más 1, pero movida 2 para la izquierda. 00:12:58
Seno de x, pues igual. 00:13:05
Si yo tuviera seno de x, quiero moverla dos unidades a la izquierda. 00:13:07
¿Dónde está mi x? Pues ahí dentro del seno. 00:13:12
Es el argumento del seno, esto de aquí. 00:13:15
Entonces, ahí dentro del seno le tengo que sumar 2, ¿vale? 00:13:17
Porque quiero que se me mueva 2 a la izquierda. 00:13:22
Entonces, sería seno de x más 2, ¿vale? 00:13:24
Dices, ostras, ¿esto sería seno de x más 2? 00:13:30
Igual que antes, no, porque antes era seno de x fuera del seno más 1. 00:13:32
Y aquí hay un paréntesis. 00:13:36
O el otro ejemplo, x al cuadrado menos 3, que es más parecido a lo que vamos a hacer ahora. 00:13:37
¿Dónde está la x? La x está elevada al cuadrado. 00:13:44
Entonces nosotros lo que nos han mandado es que nos movamos 2 a la izquierda. 00:13:49
Entonces si nos queremos mover 2 a la izquierda, ¿dónde está la x? Aquí. 00:13:54
Pues ahí tenéis que poner x más 2. 00:13:59
¿Pero qué le pasa a la x? Que está elevada al cuadrado. 00:14:02
Entonces el x más 2 tiene que estar al cuadrado 00:14:04
Y el menos 3 también formaba parte de mi fórmula 00:14:09
Aquí lo que tendríais es una traslación de esta función 2 a la izquierda 00:14:12
Entonces donde esté la x, restar, sumar 00:14:18
Eso es lo que significa f de x más k, f de x menos k 00:14:23
Los ejemplos de aquí, donde esté la x la sustituimos por x más 2 00:14:26
Aquí estaba aquí dentro de la raíz, aquí estaba dentro del argumento del seno 00:14:31
Y aquí estaba debajo del cuadrado. 00:14:34
Donde esté, le sumamos 2. 00:14:37
Vamos a ver si podemos identificar en nuestro ejercicio. 00:14:40
¿Vale? Entonces, ¿qué le ha pasado? 00:14:42
Cintia, a ver si te atreves. 00:14:45
¿Qué le ha pasado? 00:14:46
Aquí teníamos 2x cuadrado, que es la función original. 00:14:47
Y aquí, ¿qué le ha pasado? 00:14:54
El 2 se me ha quedado igual, el cuadrado se me ha quedado. 00:14:55
¿Y qué le han hecho a la x? 00:14:58
Le han restado 1, ¿no? 00:15:00
Entonces, si le resto 1 a la x, ¿qué es lo que tengo? 00:15:01
Traslación. 00:15:05
¿Cómo? ¿Puedes hablar? ¿Horizontal o vertical? No sé si puedes hablar. 00:15:07
Translación a la izquierda. Porque estamos... Ahora, ahora te oigo. 00:15:21
Vale, si le restamos uno, nos vamos para adelante. 00:15:29
Si le restamos, nos vamos para la derecha. Y si le sumamos, nos vamos para la izquierda. 00:15:35
Entonces, como le estás restando, te vas, aquí es lo que te digo, antiintuitivo, le restas, te vas para la derecha. 00:15:39
¿Y cuántas unidades te vas? Una. Vale, ahora lo dibujamos, pero es cogernos este dibujo y moverlo todo una unidad para la derecha. 00:15:46
2x cuadrado menos 3, vale, ahí, ¿qué ha pasado? Ya lo hemos dicho, ¿no? O sea, aquí el 2x cuadrado lo hemos dejado en paz y lo que hemos hecho es restar 3. 00:15:59
Entonces, esto sería una traslación horizontal o vertical. 00:16:08
¿Cómo sería esta? 00:16:19
Vertical, muy bien. 00:16:21
¿Para arriba o para abajo? 00:16:22
Aquí no tiene truco. 00:16:23
¿Es negativa? 00:16:25
Va a ser para abajo, ¿no? 00:16:26
¿Y cuántas unidades? 00:16:28
Pues tres. 00:16:29
Tres unidades para abajo. 00:16:31
Es decir, nos vamos a coger, porque es menos tres, 00:16:33
nos vamos a coger este dibujo y para abajo tres. 00:16:35
Esta de aquí, venga. 00:16:40
Esta, ¿a quién le hemos tocado? 00:16:41
¿A la X o a la Y? 00:16:43
es una traslación horizontal o vertical 00:16:44
la de la C 00:16:50
la X, muy bien 00:16:51
y entonces que va a la derecha o a la izquierda 00:16:54
le hemos sumado 00:16:57
entonces va a la izquierda 00:16:59
entonces va a la izquierda 00:17:03
2, porque le hemos sumado 2 00:17:05
es decir, me cojo este dibujo y lo muevo para la izquierda 00:17:09
a dos unidades 00:17:13
y aquí tenemos de todo 00:17:14
primero tenemos esta que sería 00:17:16
esta parte de aquí, sería una traslación 00:17:18
que le estamos sumando a la x, por el 2 sigue estando ahí 00:17:22
pero donde estaba la x hemos sumado 1, entonces lo que tenemos 00:17:26
es una traslación a izquierda una unidad, pero luego vemos que 00:17:30
al final a la y le está sumando 2, entonces vertical 2 00:17:35
entonces nos tendremos que mover toda la función, 1 para atrás, 2 para arriba 00:17:39
voy a dibujarla, porque como aquí me ha salido tan chapu 00:17:44
la voy a dibujar en GeoGebra y la pintamos 00:17:47
encima, como un ejercicio que hicimos el otro día 00:17:49
como es 2x cuadrado 00:17:51
voy a cambiar la escala 00:17:53
porque ya habéis visto que 00:17:56
si hago esta escala 00:17:58
a lo mejor 00:18:02
me va a tocar bajar 00:18:03
la voy a dejar ahí, ¿vale? para que se vea 00:18:07
que pasa por el 1, 2 y por el 2, 8 00:18:09
lo que vayamos a mostrar, entonces la voy a copiar 00:18:11
así para no tener que estar con el pulso 00:18:13
y nos la movemos 00:18:16
¿vale? a ver como 00:18:19
No sé si va a la izquierda o a la derecha. Voy a dejar espacio para que ya no me acuerdo cómo era. 00:18:20
Entonces, ABCD tenemos que hacer un poco, lo vamos a dibujar en varios colores aquí encima. 00:18:27
Hicimos un ejercicio parecido con una función que nos daban en el dibujo, aunque no nos dieron la fórmula. 00:18:32
Pues esto es parecido. 00:18:38
Ahora, lo que tiene es pensar la traslación. 00:18:39
Una vez pensada, pues ya es muy fácil. 00:18:42
Dices, a ver, la A igual a 2X menos 1 cuadrado. 00:18:44
voy a ir cogiendo colores 00:18:49
2 por x menos 1 00:18:52
al cuadrado 00:19:00
entonces 00:19:01
ay dios mio que sagrada es pintar con esto 00:19:03
vale entonces que pasa 00:19:06
que ya lo hemos visto que se parece a la anterior 00:19:07
esta es 2x cuadrado 00:19:10
lo voy a poner en negro 00:19:11
entonces esta nueva es la única diferencia 00:19:12
es que la x le hemos restado 1 00:19:21
entonces significaba 1 a la derecha 00:19:22
vale pues me la voy a pintar como sea azul 00:19:24
la a pues 00:19:28
¿qué es lo que tengo que hacer? pues mover 00:19:30
puntos importantes de esta gráfica 00:19:32
uno a la derecha, entonces los puntos 00:19:35
más importantes, obviamente el vértice 00:19:36
se me va a ir aquí 00:19:38
y luego los puntos 00:19:40
que eran exactos, que eran este 00:19:43
se me va aquí 00:19:44
y este se me va aquí 00:19:46
todos uno a la derecha 00:19:50
y luego si queréis este de aquí se me va a ir aquí 00:19:51
y este de aquí se me va a ir aquí 00:19:54
Y ahora me va a pasar lo mismo 00:19:58
Porque va a ver como dibujo yo esto 00:20:00
Vale, pero bueno, habría que unirlo 00:20:02
Que me va a salir ni de casualidad 00:20:04
Vale 00:20:06
Es que no puedo, o sea, no sé si con el ratón 00:20:08
Igual hasta con el ratón 00:20:11
Mejor 00:20:13
Vamos a probar 00:20:13
Bueno, habría que hacer eso 00:20:15
Puff, peor 00:20:18
Vamos a ver 00:20:19
Bueno 00:20:22
Que hay que unirlo 00:20:24
No me va a salir, imposible 00:20:25
Es que, además, algo se ha cambiado en el ajuste de la pantalla, que en mi casa no se 00:20:28
ve tan mal, pero cuando me muevo aquí al instituto es imposible. 00:20:35
Bueno, sería unir los puntos, ¿vale? 00:20:39
Es que no voy a ser capaz, a ver. 00:20:42
Uf, muy bien. 00:20:45
Es que no me da la... 00:20:46
Vamos a dibujar aquí 2x-1 al cuadrado. 00:20:49
¿Vale? 00:20:51
y veis que eso simplemente se me mueve para allá 00:21:02
cambió el color 00:21:05
estamos haciéndolo en azul 00:21:06
pero bueno, la idea es esa 00:21:09
tampoco me sale el color ya por defecto 00:21:10
como antes 00:21:17
bueno 00:21:17
ahora vamos a ver la siguiente 00:21:19
la siguiente que sería la B 00:21:22
igual teníamos que hacer 00:21:24
a lo mejor si lo hago más pequeño 00:21:27
2x cuadrado menos 3, lo que tendríamos que hacer es bajar esta gráfica 3 unidades, entonces 00:21:32
por ejemplo voy a ver si al ser más pequeña me cabe y me deja dibujar, el problema es 00:21:38
que no me deja hacer un solo trazo, 2x cuadrado menos 3, me deja escribir pero lo que es dibujar, 00:21:43
entonces lo que estamos viendo es que todo se baja 3, esta se me va a bajar, es que se 00:21:51
me queda sin pantalla, se va a bajar aquí, es como que la escala me la han cambiado, 00:21:56
este se va a bajar aquí, y este se va a bajar aquí, y ahora lo voy a unir, ¿vale? Entonces 00:22:00
cuando lo uno, pues me queda más o menos, más bien menos que más, ¿vale? Me va a 00:22:07
quedar ese tipo de dibujo. Esta, pues vamos a ir dos hacia la izquierda, ¿vale? Entonces 00:22:14
si nos vamos dos hacia la izquierda, ¿vale? 2x más 2 al cuadrado, dos a la izquierda, 00:22:21
pues igual vamos aquí copiamos todos dos a la izquierda el vértice se me va a ir aquí este 00:22:29
punto se me va a ir justo aquí y este punto se me va a ir aquí la gráfica más o menos la parte 00:22:36
de arriba no va a salir pero bueno la parte de abajo me cabe en la tableta luego ya se me queda 00:22:44
sin tableta, por eso no puedo seguir dibujando 00:22:49
pero bueno, seguía para allá 00:22:51
y la última 00:22:52
que me queda 00:22:57
sería 2x más 1 al cuadrado 00:22:58
más 2, ¿qué es lo que está pasando aquí? 00:23:02
pues que tenemos que mover 00:23:04
todos los puntos dos veces 00:23:05
voy a coger otro color 00:23:06
azul 00:23:08
entonces todos los puntos 00:23:10
como por ejemplo el vértice 00:23:13
uno a la izquierda, dos arriba 00:23:14
es decir, el vértice se me iría 00:23:17
uno a la izquierda, dos arriba 00:23:18
se me iría aquí, es decir, me voy a copiar el dibujo verde 00:23:22
pero empezando aquí, ¿vale? este, uno a la izquierda, dos arriba, se va aquí 00:23:26
este, uno a la izquierda, dos arriba, se va aquí, y el dibujo queda más o menos 00:23:30
a ver si me cabe, así 00:23:34
¿de acuerdo? porque todos los puntos se han trasladado, una a la izquierda 00:23:37
dos arriba, bueno, pues más o menos 00:23:42
el dibujo aquí con esto 00:23:46
y es que antes no me salía tan mal 00:23:48
pero este año algo se ha desajustado 00:23:50
la pantalla de este ordenador 00:23:52
que no soy capaz de trasladar los dibujos 00:23:54
bueno, más o menos se ha entendido 00:23:56
cómo aplicaríamos las traslaciones 00:23:57
a la parábola 00:24:00
sobre todo es que os entrenéis 00:24:03
mentalmente cómo son los cambios 00:24:04
y una vez que habéis hecho los cambios 00:24:06
escogeros el dibujo 00:24:08
y copiarlo 00:24:10
de este estilo había otro ejercicio 00:24:11
que estaba 00:24:14
a ver si me acuerdo 00:24:14
yo creo que había otro parecido 00:24:18
que hicimos en su día 00:24:25
ah, este 00:24:26
pero aquí no nos daba ni la fórmula 00:24:28
pero ahora ya la podemos adivinar 00:24:31
es claramente una parábola 00:24:33
además centrada en el vértice 00:24:34
entonces también nos decía 00:24:35
pues para arriba 00:24:38
o sea aquí la izquierda 00:24:39
dos, abajo cinco 00:24:40
aquí, tres a la derecha, uno arriba 00:24:43
aquí, uno a la izquierda, dos 00:24:45
abajo, ¿vale? y era moviendo esto 00:24:47
pues aquí es igual, solo que ya sabemos 00:24:50
la fórmula de la función original 00:24:51
que es esta, que la hemos dibujado y a partir 00:24:54
de ahí hacemos las traslaciones 00:24:55
¿qué nos pasa en el 61? 00:24:57
el 61 es curioso 00:25:00
porque hay que intentar adivinar 00:25:02
¿vale? de qué fórmula vienen 00:25:04
las parábolas 00:25:05
truco, aquí hay que tener un poquito 00:25:07
de ojo 00:25:09
voy a coger las dos primeras 00:25:10
luego hacemos las siguientes 00:25:14
entonces, el truco mayor es 00:25:15
pasar de las parábolas 00:25:18
que estábamos viendo 00:25:20
al principio 00:25:23
o sea, por ejemplo, con la que hemos trabajado hoy 00:25:25
que es 2x cuadrado 00:25:27
o la más fácil de todas, que es x al cuadrado 00:25:28
y ver 00:25:31
cómo se traslada 00:25:32
x al cuadrado, por ejemplo, a estas 00:25:34
¿cómo distingo yo, por ejemplo, x al cuadrado 00:25:36
de 2x al cuadrado, pues la forma y luego ver si las hemos movido, les hemos dado la vuelta, etc. 00:25:39
La forma de distinguir, por ejemplo, x cuadrado de 2x cuadrado es, aquí por ejemplo tenemos 2x cuadrado 00:25:45
y aquí tenemos x cuadrado. Si nos la representamos, vemos que y igual a x cuadrado tiene un punto aquí 00:25:54
y en 1, 1, y otro punto el 2, 4. 00:26:05
Siempre que veamos el primer punto, avanza uno en horizontal, uno en vertical, 00:26:10
y el segundo, avanza dos en horizontal, me sube cuatro, 00:26:14
es que es esta parábola x cuadrado movida. 00:26:18
Y si nosotros viéramos, por ejemplo, esto, el 1, 2, y luego el 2, 8, 00:26:21
es decir, que se llevan aquí dos y de repente salta seis, 00:26:28
es que estamos en otra parábola que la A sería esta, ¿vale? 00:26:31
Lo digo porque para los ejemplos que vais a ver aquí son del primer modelo, ¿vale? 00:26:36
Porque aquí salta 1 y aquí salta 3, aquí salta 1 y aquí salta 3, ¿vale? 00:26:41
Entonces, son parecidas a x cuadrado, pero están trasladadas. 00:26:46
Bueno, esta de hecho está dada la vuelta porque es cóncava, ¿vale? 00:26:49
Es decir, la A no puede ser 1, será menos 1. 00:26:53
entonces, básicamente 00:26:56
la parábola básica 00:26:58
igual a x cuadrado 00:27:01
yo me la tengo que saber un poco de memoria 00:27:03
porque me va a ayudar mucho en la vida 00:27:05
¿vale? 00:27:07
porque sale mucho 00:27:09
tenemos que sabernos que es la típica 00:27:10
que pasa por el 0,0 00:27:13
¿vale? como acabamos de ver la anterior 00:27:15
el 1,1, porque 1 al cuadrado es 1 00:27:16
y el 2,4 00:27:19
entonces si yo eso me lo sé 00:27:20
ay que rabia me da este triste 00:27:23
detrás vale y luego los puntos simétricos 00:27:26
si yo me sé que esto va así pues ahora voy a ver cómo traslado las 00:27:30
cosas pero si a mí me preguntan igual a menos x cuadrado si os dais cuenta 00:27:36
también si vais haciendo de los pasos como hemos hecho antes pero está 00:27:41
bastante claro que el vértice también va a ser el 0 0 vale porque claro 0 al 00:27:44
cuadrado tal no sea aquí y además es cóncava entonces lo que va a pasar es 00:27:49
Es que cuando la x vale 1, la y vale menos 1. 00:27:54
Y que cuando la x vale 2, la y va a valer menos 2. 00:27:58
O sea, menos 4. 00:28:01
1, 2, 3, 4. 00:28:02
¿Vale? 00:28:04
Entonces es la misma que esta, con sus puntitos simétricos aquí, pero boca abajo. 00:28:04
¿Vale? 00:28:11
Entonces, conca. 00:28:12
Entonces, siempre que tengamos estas distancias, 1, 1, y luego salta 3, en lo que avanzo 1, en horizontal, 1, 1, y luego en lo que avanzo 1, horizontal, bajo 3. 00:28:13
es porque es de este estilo, es con la A1-1 00:28:23
que son estos casos 00:28:26
pero luego me la pueden haber trasladado 00:28:27
porque por ejemplo aquí el vértice 00:28:29
no lo tengo en el origen, no lo tengo en el 00 00:28:31
¿vale? el 00 00:28:34
claro, aquí me han dibujado 00:28:35
esto es un poquito confuso la verdad 00:28:38
porque en el libro no tiene las cosas en colores 00:28:39
pero luego en las fotocopias no se ve 00:28:42
¿vale? pero esto realmente tendría que estar punteado 00:28:43
que sería el eje de la parábola 00:28:46
¿vale? es un eje de simetría 00:28:49
pero los ejes de coordenadas 00:28:51
Bueno, veis que viene la y y la x, el 0, 0 estaría aquí. 00:28:53
Entonces, si este es el 0, 0, este punto, el vértice, claro, no está en el 0, 0. 00:28:57
Entonces, ¿qué le ha pasado al vértice? 00:29:02
Que se me ha ido 2 en horizontal y se me ha ido 3 en vertical. 00:29:04
Entonces, tengo que intentar trasladar y igual a x cuadrado. 00:29:11
¿Por qué sé que es x cuadrado? 00:29:17
por la forma que tiene, es esta, pero movida por la distancia y porque es convexa. ¿Pero qué le 00:29:18
pasa que la hemos trasladado? 2 a la derecha y 3 abajo. Entonces 2 a la derecha, hay que acordarse 00:29:25
que traslación era 3 abajo también. Entonces 2 a la derecha era donde estuviera la x, si vamos 00:29:37
a la lista le restábamos 2, ¿vale? Entonces sería y igual a x menos 2 al cuadrado. Pero 00:29:46
como además es 3 abajo, sería y igual a x menos 2 al cuadrado menos 3, ¿vale? Pues 00:29:55
esa sería la fórmula del apartado A. ¿Cómo nos ha ido? Pues por la relación que tiene, 00:30:03
que es este dibujo, y porque hemos visto que en vez de estar el vértice en el 0, 0, se 00:30:10
ido 2 para la derecha, por eso hemos restado 2 y 3 para abajo, ¿vale? Y hemos restado 3. 00:30:15
¿Qué pasa con el b? Vámonos al b. Esta no parte de x cuadrado, parte de menos x cuadrado. 00:30:22
¿Vale? ¿Por qué lo sé? Pues porque es concava, ¿vale? Porque yo más o menos me tengo que saber 00:30:32
esta. Entonces, por también las distancias, ¿vale? Aquí va 1 y aquí van 3. Por eso sé que es de este 00:30:37
estilo y por qué es la negativa porque tiene esta forma que se llama conca ahora vamos a ir 00:30:43
adivinando a ver dónde es que la pasaba mi vértice en vez de estar en el origen en el 00 como es 00:30:48
este ejemplo mi vértice se me ha ido dos unidades hacia atrás dos a la izquierda y se me ha ido 00:30:55
1, 2, 3, 4 para arriba 00:31:03
vale, entonces tenemos que 00:31:05
trasladar esta 00:31:07
2 a izquierda 00:31:08
y tenemos que trasladarla 00:31:10
4 para arriba 00:31:14
4, ¿verdad? 00:31:16
sí, 1, 2, 3, 4 00:31:17
vale, entonces, ¿cómo se hace? 00:31:19
bueno, pues 2 a la izquierda 00:31:21
si es a la izquierda se suma la x 00:31:23
vale, entonces sería 00:31:25
igual, cuidado que la x 00:31:26
es lo que está 00:31:28
digamos, aquí dentro 00:31:30
el menos está delante 00:31:32
entonces sería 00:31:35
y el cuadrado está englobándolo 00:31:36
entonces sería menos 00:31:39
luego vamos a poner un paréntesis 00:31:41
porque le tenemos que 00:31:43
sumar 2 porque nos vamos 2 para atrás 00:31:45
2 para atrás es sumar 2 00:31:48
acordaros en la x 00:31:50
y luego está elevado al cuadrado 00:31:51
de acuerdo en el lugar 00:31:57
donde estaba la x 00:31:58
ponemos x más 2 pero claro respetamos el menos 00:31:59
con un paréntesis respetamos el cuadrado vale con el paréntesis y como además lo tengo que subir 4 00:32:02
me acuerdo entonces esto sería el b no sé si me sigues cintia o alguna cosa que es que 00:32:14
vayamos despacio si te sigo vale genial entonces intenta adivinar las otras dos vamos a ver las 00:32:22
otras porque esto es claro una vez que le tienes puesto el ojo es verlo y ya está pero hay que 00:32:31
adiestrar el ojo digamos para verlo vale está veis que es como más estirada no más más entonces eso 00:32:37
significa que la es más grande cuanto más estrecha más grande es la y además es que es la que hemos 00:32:45
trabajado con ella hace un minuto vale entonces vamos a pegarle aquí los dibujos y es justamente 00:32:51
la que acabamos de dibujar que es 2 x cuadrado porque lo sé bueno voy a verlo pero hay que 00:33:00
contar no en 2 x cuadrado la estrechita vale es 2 x cuadrado 12 y luego 28 vale entonces ya que 00:33:05
aquí ha saltado 6 en vertical en lo que se ha movido 1 en horizontal es cuando veamos ese 00:33:16
patrón vamos a ver si se cumple aquí 1 y bajados pero aquí tendría que moverse 1 y saltar 6 1 2 3 00:33:21
4, 5, 6, pues sí se cumple, y aquí 00:33:29
pues aquí no, ¿vale? 00:33:31
porque aquí en la primera ya salto 00:33:33
3, ¿de acuerdo? 00:33:35
ahora buscaremos cuál es 00:33:37
pero esta vemos que es 00:33:39
la, bueno, sí 00:33:40
no, esta 00:33:43
vemos que es cóncava 00:33:45
¿de acuerdo? entonces 00:33:47
si es cóncava 00:33:49
viene de menos 2x cuadrado 00:33:50
que sería la que acabamos de ver ahora 00:33:53
¿vale? 00:33:55
2x cuadrado es la que sabemos que tiene estas distancias, pero claro, va para abajo, o sea, 00:33:59
es concava, entonces igual a menos 2x cuadrado. Pero hay alguna traslación porque el vértice 00:34:05
no está en el origen. El vértice se ha ido 2 a la derecha y se me ha ido 1, 2, 3, 4 para 00:34:11
arriba, ¿vale? Entonces, 2 a la derecha y 4 arriba, porque ha subido hasta aquí, ¿vale? 00:34:19
Entonces, 2 a la derecha es que la x hay que restarle 2, o sea, esto, ¿vale? En el lugar 00:34:32
de la x le restamos 2, el menos 2 lo conservamos, el cuadrado también, luego 4 para arriba 00:34:48
significaba al final le sumo 4 00:34:53
entonces esta sería 00:34:55
la C 00:34:57
¿qué pasa con la D? que no es ninguna de esas 00:34:57
¿vale? porque aquí hay un salto de 3 00:35:00
¿de acuerdo? entonces 00:35:02
será 3X cuadrado 00:35:03
¿de acuerdo? eso tengo que ir probando 00:35:07
pero si tú te representas 00:35:08
igual a 3X cuadrado 00:35:10
pues claro 00:35:12
va a ser 0,0 al 1,3 00:35:14
¿de acuerdo? y luego 00:35:16
el siguiente número 00:35:18
sería 00:35:20
3 por 4 00:35:22
claro, 12 que ni cabe, ¿vale? lo voy a dibujar aquí, 3x cuadrado 00:35:26
es súper estrechita, ¿vale? pero sí que 00:35:30
el punto súper importante que nos va a hacer detectar es este 00:35:37
porque el siguiente para el 2 se me va a ir hasta el 12, entonces 00:35:41
está muy lejos, ¿vale? está ahí arriba, pero no me cabía en este dibujo 00:35:44
en este sí porque lo estoy estirando, ¿vale? pero 00:35:49
en el dibujo que tenéis del libro 00:35:53
ni cabía, pero sí que lo detectamos 00:35:54
porque en lo que avanza uno 00:35:57
es alta o tres 00:35:59
me acuerdo, pasa por el uno o tres 00:36:00
entonces, ¿qué me pasa en mi dibujo? 00:36:03
vale, sí, del uno a tres 00:36:07
y aquí saltaría hasta el doce, pero claro 00:36:09
ni me cabe, está de camino 00:36:11
entonces, ¿qué ha pasado? 00:36:12
que es 3x cuadrado 00:36:15
desplazada 00:36:17
es positiva porque tiene la forma 00:36:18
convexa. Y ese 3 es el que me está diciendo la distancia 00:36:23
que salto en el primero. ¿Qué le ha pasado? 00:36:27
Que si esto es, a ver, este punto es el origen de coordenadas 00:36:32
porque aquí como siempre me dibujan el eje, me haría mucho, ¿vale? 00:36:36
Pero el eje Y, esto de aquí es el eje de la parábola. 00:36:39
El libro lo pone continuo, normalmente en cualquier 00:36:44
otro libro os lo van a poner discontinuo, que es el estándar, ¿vale? 00:36:47
Pero nuestro libro lo pinta en verde. 00:36:51
Lo que pasa es que cuando cambiamos a fotocopio y tal, se ve fatal. 00:36:53
¿Vale? 00:36:56
Entonces, el origen es este. 00:36:56
No liarnos. 00:37:01
Entonces, lo que ha pasado es que el vértice se me ha movido uno para atrás y tres para abajo. 00:37:02
Uno a la izquierda. 00:37:08
Y tres en vertical. 00:37:11
Hacia abajo. 00:37:14
¿Vale? 00:37:15
Entonces, uno a la izquierda significa que a la X hay que sumarle uno. 00:37:15
de donde estaba la x, le sumamos 1 00:37:21
y 3 hacia abajo 00:37:25
significaba que había que restar al final de la fórmula menos 3 00:37:29
¿vale? pues esa sería la parábola 00:37:33
que estamos representando, lo podéis dejar así, ahora si tenéis 00:37:37
mucha curiosidad y muchas ganas de practicar parábolas, siempre podríais desarrollar 00:37:41
esta expresión y veríais que os quedaría una fórmula 00:37:45
ax cuadrado más bx más c. Imagínate que tengo ganas de hacerlo porque tengo ganas de practicar, 00:37:49
porque así ya está bien el ejercicio, ¿vale? Insisto, pero imagínate que quieres practicar 00:37:56
parábolas. Bueno, x más 1 al cuadrado sería x cuadrado más 2x más 1, usando la identidad notable, 00:38:00
menos 3 según la fórmula. Entonces yo lo quiero desarrollar, me queda 3x cuadrado más 6x más 3 00:38:07
y menos 3 00:38:16
es decir, me queda 00:38:17
3x cuadrado más 6x 00:38:22
si yo ahora hago todos los pasos 00:38:24
de representación de la parábola 00:38:27
que vimos 00:38:29
curvatura 00:38:30
vértice tal 00:38:33
y lo dibujo, pues va a salir esto 00:38:34
¿de acuerdo? o lo podéis dibujar 00:38:37
directamente en GeoGebra, 3x cuadrado 00:38:39
más 6x 00:38:41
como comprobación 00:38:41
de que está bien 00:38:45
vale, y vemos que sí 00:38:46
que me sale, voy a quitar todo esto 00:38:56
para no marear con tanta línea 00:38:59
entonces vamos a ver 00:39:03
que efectivamente esa es la 00:39:04
la parábola que me está poniendo 00:39:06
el libro, y ese eje de simetría 00:39:09
sería la recta 00:39:11
x igual a menos 1 00:39:12
que la pondríamos punteada 00:39:14
para no marear 00:39:15
para no confundir con los ejes 00:39:18
lo normal es ponerla siempre así 00:39:22
y así sí que veo 00:39:23
que el eje es este 00:39:26
y que este era 00:39:27
el vértice estaba originalmente ahí 00:39:28
porque estoy trasladando 00:39:31
y igual a 3x cubo 00:39:34
digo 3x cuadrado 00:39:36
y vemos aquí 00:39:38
yo creo que bastante bien 00:39:42
voy a cambiar algún color 00:39:43
¿Se ve mejor aún? 00:39:45
Vale, sí que vemos que ha habido una... 00:39:53
Este vértice se ha movido. 00:39:55
Uno para atrás, tres para abajo. 00:39:57
¿Vale? Que es lo que estamos hablando. 00:39:59
Bueno, pues lo dejo ahí. 00:40:04
Yo creo que ha sonado el timbre, pero no lo he oído. 00:40:06
No sé si es que no oigo porque me he encerrado aquí 00:40:10
o a lo mejor porque tengo cancelación del ruido. 00:40:13
No lo sé. 00:40:15
O ya no suena, pero juraría que antes lo oía. 00:40:16
Pero bueno, lo dejamos ahí 00:40:20
Porque ya eran justo los ejercicios que quería que vierais, ¿vale? 00:40:21
Entonces, eso, lo normal es que me lo pinten así para no marear tanto. 00:40:25
Pero bueno, me lo han pintado así, ¿de acuerdo? 00:40:29
Entonces, esto de aquí no es el eje Y. 00:40:31
Esto de aquí, que he intentado pintar en verde, ¿vale? 00:40:34
Sería este eje, ¿vale? 00:40:37
Que es el eje de simetría de la parábola. 00:40:39
Pero esta parábola es esta trasladada. 00:40:42
Uno y tres, ¿vale? 00:40:45
Por lo tanto, su fórmula es esta. 00:40:48
Uno y tres 00:40:49
Bueno, no sé, espero que te haya servido 00:40:52
La clase, Cintia, ¿qué tal? 00:40:55
Pues nada 00:40:59
Os veo luego, no sé si tengo 00:41:00
Sí, luego dentro de dos horas me parece 00:41:02
Tenemos otra vez mates 00:41:04
Pues nada, lo dejamos ahí 00:41:06
Y hasta dentro de un ratillo 00:41:09
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Araceli Alonso
Subido por:
Araceli A.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
1
Fecha:
3 de noviembre de 2026 - 21:16
Visibilidad:
URL
Centro:
IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
Duración:
41′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
138.22 MBytes

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